极坐标系
共746题

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极坐标系
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题型：简答题

简答题

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数，r＞0）．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．若圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．

正确答案

解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，

圆心的直角坐标（-，-）

直线l的极坐标方程为即为x+y-=0，

圆心O（-，-）到直线的距离d==2．

圆O上的点到直线的最大距离为 2+r=3，

解得r=1．

解析

解：圆的直角坐标方程为（x+）2+（y+）2=r2，

圆心的直角坐标（-，-）

直线l的极坐标方程为即为x+y-=0，

圆心O（-，-）到直线的距离d==2．

圆O上的点到直线的最大距离为 2+r=3，

解得r=1．

题型：填空题

填空题

直线（t为参数）被曲线所截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：把直线（t为参数）消去参数t，化为普通方程为 3x+4y+1=0．

曲线即 ρ2=ρ（cosθ-sinθ）=ρcosθ-ρsinθ，化为直角坐标方程为 x2+y2-x+y=0，即 +=，

表示以（，-）为圆心，半径等于的圆．

圆心到直线的距离为 =，故弦长为2=．

题型：简答题

简答题

已知曲线C1：ρcos（θ+）=；曲线C2：ρ2=．

（1）试判断曲线C1与C2的交点个数；

（2）若过点M（1，0）直线l与曲线C2交于两个不同的点A，B，求的取值范围．

正确答案

（1）由ρcos（θ+）=，得ρ（cosθ-sinθ）=，

所以x-y=1，

由ρ2=，得ρ2（3-2cos2θ）=3，

所以3（x2+y2）-2x2=3，即x2+3y2=3，

由得2x2-3x=0，解得x=0或x=，

所以曲线C1与C2的交点有两个；

（2）①当直线l存在斜率时，设l的方程为y=k（x-1），A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（1+3k2）x2-6k2x+3k2-3=0，

△=36k4-4（1+3k2）（3k2-3）＞0，即2k2+1＞0恒成立，

则x1+x2=，x1x2=，

|MA|=|x1-1|，|MB|=|x2-1|，|AB|=|x1-x2|，

==•=•，

又k2≥0，所以＜≤•=；

②当直线l不存在斜率时，把x=1代入x2+3y2=3得y=±，

此时==，

综合①②得的取值范围为[，]．

题型：填空题

填空题

在极坐标系中，曲线ρ=2sinθ所围成的平面图形的面积为______．

正确答案

将原极坐标方程为p=2sinθ，化成：

p2=2ρsinθ，其直角坐标方程为：

∴x2+y2=2y，是一个半径为1的圆，其面积为π．

故答案为：π．

题型：简答题

简答题

已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，直线l的方程为ρsin（θ-）=2．

（Ⅰ）求曲线C的普通方程并说明曲线的形状；

（Ⅱ）是否存在实数t，使得直线l与曲线C有两个不同的公共点A、B，且•=10（其中O为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）∵t≠0，∴可将曲线C的方程化为普通方程：+y2=4．…（2分）

①t=±1时，曲线C为圆心在原点，半径为2的圆； …（4分）

②当t≠±1时，曲线C为中心在原点的椭圆．…（6分）

（Ⅱ）直线l的普通方程为：x-y+4=0．…（8分）

联立直线与曲线的方程，消y得+（x+4）2=4，化简得（1+t2）x2+8t2x+12t2=0．

若直线l与曲线C有两个不同的公共点，则△=64t4-4（1+t2）•12t2＞0，解得t2＞3

又x1+x2=-，x1x2=，…（ …（10分）

故 •=x1x2+y1y2=x1x2+（x1+4）（x2+4）=2x1x2+4（x1+x2）+16=10．

解得t2=3与t2＞3相矛盾．故不存在满足题意的实数t．…（12分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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