热门试卷

解：（Ⅰ）由消去y，得x2-8x-4m=0．

∵直线l与抛物线C2只有一个公共点，

∴△=82+4×4m=0，解得m=-4．

∴直线l的方程为y=2x-4；

（Ⅱ）∵抛物线C2的焦点为：F1（0，1），

依题意知椭圆C1 的两个焦点坐标为F1（0，1），F2（0，-1），

如图，

设点F1关于直线l的对称点为，

则，解得．

∴点．

∴直线 的方程为y=-1．

直线l与直线 的交点坐标为．

由椭圆的定义及平面几何知识得：

椭圆C1的长轴长2a=．

其中当P与P0重合时上式取等号．

∴当a=2时，椭圆的长轴长取得最小值为4，

此时椭圆的方程为，点P的坐标为．

解：（Ⅰ）由已知得，，又a2=b2+c2，联立解得．

故所求椭圆C的方程为．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）

当λ=0时由知，，A与B关于原点对称，存在Q满足题意，∴λ=0成立．

当λ≠0时，设直线AB的方程为y=kx+m．

联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，

由△=（4km）2-4（1+2k2）（2m2-2）＞0解得m2＜1+2k2…（*）

∴，．

由，得（x1+x2，y1+y2）=（λx0，λy0），可得x1+x2=λx0，y1+y2=λy0，

∴，

代入到得到，

代入（*）式，

由1+2k2＞0得λ2＜4，解得-2＜λ＜2且λ≠0．

∴综上λ∈（-2，2）．

解：（1）因为椭圆C的离心率e=，

故设a=2m，c=m，则b=m．

直线A2B2方程为 bx-ay-ab=0，

即mx-2my-2m2=0．

所以 =，解得m=1．

所以 a=2，b=1，椭圆方程为+y2=1．               

（2）由+y2=1及y=得：

x=，则E（，），F（-，-），

又∵椭圆+y2=1的右焦点F2的坐标为（，0）

∴=（，），=（-，-），

∴•=（）×（-）+×（-）=＞0，

∴∠EF2F是锐角

（3）由（1）可知A1（0，1）A2（0，-1），设P（x0，y0），

直线PA1：y-1=x，令y=0，得xN=；

直线PA2：y+1=x，令y=0，得xM=；

解法一：设圆G的圆心为（（-），h），

则r2=[（-）-]2+h2=（+）2+h2．

OG2=（-）2+h2．

OT2=OG2-r2=（-）2+h2-（+）2-h2=．

而+y02=1，所以x02=4（1-y02），所以OT2=4，

所以OT=2，即线段OT的长度为定值2．…（16分）

解法二：OM•ON=|（-）•|=，

而+y02=1，所以x02=4（1-y02），所以OM•ON=4．

由切割线定理得OT2=OM•ON=4．

所以OT=2，即线段OT的长度为定值2．…（16分）

解：（1）设点A的坐标为（x1，y1），

当y≥0时，由+=1得，y=，

则过点A的切线斜率k=y′=，过点A的切线方程为：y-y1=，

又，则切线方程可整理为：，

当y＜0时，同理可得切线方程为：，

综上，过点A的切线方程为：，

∵点P（1，2）在切线上，∴①，

设点B的坐标为（x2，y2），同理可得，②，

故由①②可得直线AB的方程为；

（2）当点P运动时，∠PFA与∠PFB总是相等的，

F（-1，0），设点P的坐标为（m，n），

则由（1）知，，∴，

∵|AF|=2+，=（x1+1，y1）•（m+1，n）

=（m+1）（x1+1）+ny1=（m+1）（x1+1）+3（1-）

=，

∴cos∠PFA==，

同理，cos，

∴cos∠PFA=cos∠PFB，

∴∠PFA=∠PFB．

（Ⅰ）解：依题意，得                             …（2分）

解得a=2，b=1．                                        …（3分）

所以椭圆的方程为．                             …（4分）

（Ⅱ）证明：由于l∥AB，设直线l的方程为y=-，将其代入，消去y，

整理得2x2-4mx+4m2-4=0．                                   …（6分）

设C（x1，y1），D（x2，y2）．

所以x1+x2=2m，x1x2=2m2-2 …（8分）

记△OCM的面积是S1，△ODN的面积是S2．

由题意M（2m，0），N（0，m），

因为x1+x2=2m，

所以=|-x1+2m|=|x2|，…（13分）

∵．    

∴S1=S2                                         …（14分）