直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知点Q是抛物线C1：y2=2px（p＞0）上异于坐标原点O的点，过点Q与抛物线C2：y=2x2相切的两条直线分别交抛物线C1于点A，B．若点Q的坐标为（1，-6），求直线AB的方程及弦AB的长．

正确答案

解：由Q（1，-6）在抛物线C1：y2=2px（p＞0）上，可得p=18，

所以抛物线C1的方程为y2=36x．…（3分）

设抛物线C2的切线方程为y+6=k（x-1），

联立，得2x2-kx+（k+6）=0，…（6分）

由于直线与抛物线C2相切，故△=k2-8k-48=0，解得k=-4或k=12．…（8分）

由得；由得．…（10分）

所以直线AB的方程为12x-2y-9=0，弦AB的长为．…（12分）

解析

解：由Q（1，-6）在抛物线C1：y2=2px（p＞0）上，可得p=18，

所以抛物线C1的方程为y2=36x．…（3分）

设抛物线C2的切线方程为y+6=k（x-1），

联立，得2x2-kx+（k+6）=0，…（6分）

由于直线与抛物线C2相切，故△=k2-8k-48=0，解得k=-4或k=12．…（8分）

由得；由得．…（10分）

所以直线AB的方程为12x-2y-9=0，弦AB的长为．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知点P（2，2）在抛物线C；y2=2px（p＞0）上，且抛物线C上的点到直线l：y=x+b（b＞0）的距离的最小值为．

（1）求直线l及抛物线C的方程；

（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线

PA、PB、PM的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在实数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C，

∴22=2p×2，解得p=1．

设与直线l平行且与抛物线相切的直线l′的方程为：y=x+m，

联立，化为x2+（2m-2）x+m2=0，

令△=（2m-2）2-4m2=0，解得m=，

则直线l′的方程为y=x+．

则=，解得b=2或b=-1（舍去），

∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x；

（2）∵直线AB的斜率存在，∴设直线AB的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，

联立，可得ky2-2y-4k+2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，，

∴==，，

∴k1+k2====．

由，解得xM=，yM=，

∴k3==，

∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ=2，使得k1+k2=λk3．

解析

解：（1）∵点P（2，2）在抛物线C，

∴22=2p×2，解得p=1．

设与直线l平行且与抛物线相切的直线l′的方程为：y=x+m，

联立，化为x2+（2m-2）x+m2=0，

令△=（2m-2）2-4m2=0，解得m=，

则直线l′的方程为y=x+．

则=，解得b=2或b=-1（舍去），

∴直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x；

（2）∵直线AB的斜率存在，∴设直线AB的方程为：y-1=k（x-2），即y=kx-2k+1，

联立，可得ky2-2y-4k+2=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，，

∴==，，

∴k1+k2====．

由，解得xM=，yM=，

∴k3==，

∴k1+k2=2k3．因此，存在实数λ=2，使得k1+k2=λk3．

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题型：简答题

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简答题

（2016•衡阳一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点A（-，），离心率为，点F1，F2分别为其左右焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若y2=4x上存在两个点M，N，椭圆上有两个点P，Q满足，M，N，F2三点共线，P，Q，F2三点共线，且PQ⊥MN．求四边形PMQN面积的最小值．

正确答案

解：（1）由题意得：，a2-b2=c2，得b=c，

因为椭圆过点A（-，），

则+=1，

解得c=1，所以a2=2，

所以椭圆C方程为．

（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，

易得，．

当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x-1）（k≠0）

与y2=4x联立得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，

|MN|=•．即有，

∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=-（x-1），

将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2-4x+2-2k2=0，

令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，

由弦长公式|PQ|=•，

代入计算可得，

∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，

令1+k2=t，（t＞1），

上式=，

所以．最小值为．

解析

解：（1）由题意得：，a2-b2=c2，得b=c，

因为椭圆过点A（-，），

则+=1，

解得c=1，所以a2=2，

所以椭圆C方程为．

（2）当直线MN斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，

易得，．

当直线MN斜率存在时，设直线方程为：y=k（x-1）（k≠0）

与y2=4x联立得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

令M（x1，y1），N（x2，y2），则，x1x2=1，

|MN|=•．即有，

∵PQ⊥MN，∴直线PQ的方程为：y=-（x-1），

将直线与椭圆联立得，（k2+2）x2-4x+2-2k2=0，

令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，

由弦长公式|PQ|=•，

代入计算可得，

∴四边形PMQN的面积S=|MN|•|PQ|=，

令1+k2=t，（t＞1），

上式=，

所以．最小值为．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C1，抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

（Ⅰ）求C1、C2的标准方程；

（Ⅱ）若过曲线C1的右焦点F2的任意一条直线与曲线C1相交于A、B两点，试证明在x轴上存在一定点P，使得的值是常数．

正确答案

解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，

据此验证4个点知（3，-2），（4，-4）在抛物线上，∴C2的标准方程为y2=4x．…（2分）

设C1：，把点（-2，0），（，）代入得：，解得．

∴C1的标准方程为．…（6分）

（Ⅱ）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-），代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0，则

xA+xB=，xAxB=．…（8分）

设点P（t，0），则=（xA-t）（xB-t）+yAyB=．…（10分）

当，即时，对任意k∈R，=-．…（12分）

②当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=，xA=xB=，yAyB=-．

若，则=（xA-t）（xB-t）+yAyB=

故存在x轴上的点P（），使得的值是常数．…（13分）

解析

解：（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px（p≠0），则有，

据此验证4个点知（3，-2），（4，-4）在抛物线上，∴C2的标准方程为y2=4x．…（2分）

设C1：，把点（-2，0），（，）代入得：，解得．

∴C1的标准方程为．…（6分）

（Ⅱ）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-），代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2-8k2x+12k2-4=0，则

xA+xB=，xAxB=．…（8分）

设点P（t，0），则=（xA-t）（xB-t）+yAyB=．…（10分）

当，即时，对任意k∈R，=-．…（12分）

②当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=，xA=xB=，yAyB=-．

若，则=（xA-t）（xB-t）+yAyB=

故存在x轴上的点P（），使得的值是常数．…（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知动点A在直线l：x=1上，点C的坐标为（-1，0），经过点A垂直于直线l的直线，交线段AC的垂直平分线于点P．求点P的轨迹．

正确答案

解：依题意可知|PC|=|PA|，根据抛物线的定义可知，

点P的轨迹是以C（-1，0）为焦点，L：x=1为准线的抛物线．

∴p=2，

∴抛物线的方程为：y2=-4x．

解析

解：依题意可知|PC|=|PA|，根据抛物线的定义可知，

点P的轨迹是以C（-1，0）为焦点，L：x=1为准线的抛物线．

∴p=2，

∴抛物线的方程为：y2=-4x．

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题型：简答题

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简答题

椭圆=1的左右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P，求线段P F1的垂直平分线与 l2的交点M的轨迹方程，并说明曲线类型．

正确答案

解：如图所示，

由题意可知：点M到定直线l1与到定点F1的距离相等，因此其轨迹是抛物线，点F1（-1，0）为焦点，直线l1为准线．

∴点M的轨迹为y2=-4x．

解析

解：如图所示，

由题意可知：点M到定直线l1与到定点F1的距离相等，因此其轨迹是抛物线，点F1（-1，0）为焦点，直线l1为准线．

∴点M的轨迹为y2=-4x．

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题型：简答题

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简答题

已知定点A（1，0）和定直线x=-1上的两个动点E、F，满足，动点P满足，（其中O为坐标原点）．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点B（0，2）的直线l与（1）中轨迹C相交于两个不同的点M、N，若，求直线l的斜率的取值范围．

正确答案

解：（1）设P（x，y），E（-1，y1），F（-1，y2）（y1、y2均不为0）

由得y1=y，即E（-1，y）

由FO∥OP得，即F（-1，-）

∵，∴

∴（-2，y1）•（2，y2）=0

∴y1y2=-4，∴y2=4x（x≠0）

∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）

（2）设直线l的方程y=kx+2（k≠0），M（），N（）

联立得消去x得ky2-4y+8=0

∴，，且△=16-32k＞0即k＜．

∴=（）•（）=（）•（）+y1y2

==

∵，∴-12＜k＜0，满足k＜，

∴-12＜k＜0．

解析

解：（1）设P（x，y），E（-1，y1），F（-1，y2）（y1、y2均不为0）

由得y1=y，即E（-1，y）

由FO∥OP得，即F（-1，-）

∵，∴

∴（-2，y1）•（2，y2）=0

∴y1y2=-4，∴y2=4x（x≠0）

∴动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≠0）

（2）设直线l的方程y=kx+2（k≠0），M（），N（）

联立得消去x得ky2-4y+8=0

∴，，且△=16-32k＞0即k＜．

∴=（）•（）=（）•（）+y1y2

==

∵，∴-12＜k＜0，满足k＜，

∴-12＜k＜0．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆，点P（）在椭圆上．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值．

正确答案

解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以

∴

（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx

设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①

∵|AQ|=|AO|，A（-a，0），y0=kx0，

∴

∵x0≠0，∴

代入①，整理得

∵

∴+4，

∴5k4-22k2-15=0

∴k2=5

∴

解析

解：（1）因为点P（）在椭圆上，所以

∴

（2）设直线OQ的斜率为，则其方程为y=kx

设点Q的坐标为（x0，y0），由条件得，消元并整理可得①

∵|AQ|=|AO|，A（-a，0），y0=kx0，

∴

∵x0≠0，∴

代入①，整理得

∵

∴+4，

∴5k4-22k2-15=0

∴k2=5

∴

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题型：简答题

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简答题

（2015•江西校级一模）在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．

（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；

（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．

正确答案

解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；

曲线C的参数方程为．消去参数θ，

可得曲线…（4分）

（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为

由直线l1与曲线C相交可得：，即：，

x2+2y2=6表示一椭圆…（8分）

取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2-2=0

由△≥0得

故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…（10分）

解析

解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；

曲线C的参数方程为．消去参数θ，

可得曲线…（4分）

（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为

由直线l1与曲线C相交可得：，即：，

x2+2y2=6表示一椭圆…（8分）

取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2-2=0

由△≥0得

故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C1的中心为原点O，离心率，其一个焦点在抛物线C2：y2=2px的准线上，若抛物线C2与直线相切．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）当点Q（u，v）在椭圆C1上运动时，设动点P（2v-u，u+v）的运动轨迹为C3．若点T满足：，其中M，N是C3上的点，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（I）由，

∵抛物线C2：y2=2px与直线相切，

∴…（2分）

∴抛物线C2的方程为：，其准线方程为：，

∴．

∵离心率，

∴，

∴a=2，b2=a2-c2=2，

故椭圆的标准方程为．…（5分）

（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x‘，y'），T（x，y）

则，

∵当点Q（u，v）在椭圆C1上运动时，动点P（2v-u，u+v）的运动轨迹C3，

∴，

∴x'2+2y'2=12，

∴C3的轨迹方程为：x2+2y2=12…（7分）

由得（x，y）=（x2-x1，y2-y1）+2（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），

∴x=x1+2x2，y=y1+2y2．

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知，

因此x1x2+2y1y2=0，…（9分）

∵点M，N在椭圆x2+2y2=12上，

∴，

故

=．

∴x2+2y2=60，从而可知：T点是椭圆上的点，

∴存在两个定点F1，F2，且为椭圆的两个焦点，使得|TF1|+|TF2|为定值，其坐标为． …（13分）

解析

解：（I）由，

∵抛物线C2：y2=2px与直线相切，

∴…（2分）

∴抛物线C2的方程为：，其准线方程为：，

∴．

∵离心率，

∴，

∴a=2，b2=a2-c2=2，

故椭圆的标准方程为．…（5分）

（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x‘，y'），T（x，y）

则，

∵当点Q（u，v）在椭圆C1上运动时，动点P（2v-u，u+v）的运动轨迹C3，

∴，

∴x'2+2y'2=12，

∴C3的轨迹方程为：x2+2y2=12…（7分）

由得（x，y）=（x2-x1，y2-y1）+2（x1，y1）+（x2，y2）=（x1+2x2，y1+2y2），

∴x=x1+2x2，y=y1+2y2．

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率，由题设条件知，

因此x1x2+2y1y2=0，…（9分）

∵点M，N在椭圆x2+2y2=12上，

∴，

故

=．

∴x2+2y2=60，从而可知：T点是椭圆上的点，

∴存在两个定点F1，F2，且为椭圆的两个焦点，使得|TF1|+|TF2|为定值，其坐标为． …（13分）

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