直线与圆锥曲线_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上任意一点，P到焦点F2的距离的最大值为，且△PF1F2的最大面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程．

（Ⅱ）点M的坐标为，过点F2且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点．对于任意的是否为定值？若是求出这个定值；若不是说明理由．

正确答案

解：（ I）由题意可知：a+c=+1，×2c×b=1，

∵a2=b2+c2

∴a2=2，b2=1，c2=1

∴所求椭圆的方程为：…．（4分）

（ II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0

则

∴对于任意的为定值．

解析

解：（ I）由题意可知：a+c=+1，×2c×b=1，

∵a2=b2+c2

∴a2=2，b2=1，c2=1

∴所求椭圆的方程为：…．（4分）

（ II）设直线l的方程为：y=k（x-1）A（x1，y1），B（x2，y2），M（，0）

联立直线与椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2-4k2x+2（k2-1）=0

则

∴对于任意的为定值．

1

题型：填空题

|

填空题

已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点距离之和为2，离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，点P是右准线上任意一点，过F2作直线PF2的垂线F2Q交椭圆于Q点．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

（3）点P的纵坐标为3，过P作动直线L与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点H（异于点M，N），满足=，试证明点H恒在一定直线上．

正确答案

解析

（1）解：由题意得2a=，e==，a2=b2+c2，

解得a=，b=2，c=1

所以椭圆E：+=1；

（2）证明：由（1）可知：椭圆的右准线方程为x==5，F2（1，0）

设P（5，y0），Q（x1，y1）

因为PF2⊥F2Q，所以=•=-1

所以-y1y0=4（x1-1）

又因为kPQkOQ=•==且化简得kPQkOQ=-

即直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值-；

（3）证明：设过P（5，3）的直线L与椭圆交于两个不同点M（x1，y1），N（x2，y2），点H（x，y），

则4+5=20，4+5=20

设==λ，则=，=

所以（x1-5，y1-3）=λ（x2-5，y2-3），（x-x1，y-y1）=λ（x2-x，y2-y）

整理得5=，x=，3=，y=

从而5x=，3y=

由于4+5=20，4+5=20

所以20x+15y===20

所以点H恒在直线20x+15y-20=0，即4x+3y-4=0上．

1

题型：单选题

|

单选题

已知动点P（x，y）满足，，则取值范围（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：由于动点P（x，y）满足，，化为=，

设A（2，-3），B（-3，-2），则|AB|=．

∴动点P（x，y）在相等AB上，

设k=，则k表示动点P（x，y）与M（3，1）连线的斜率．

又kMA==4，kMB==．

∴．

故选C．

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆┍的方程为+=1（a＞b＞0），点P的坐标为（-a，b）．

（1）若直角坐标平面上的点M、A（0，-b），B（a，0）满足=（+），求点M的坐标；

（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆┍于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若k1•k2=-，证明：E为CD的中点；

（3）对于椭圆┍上的点Q（a cosθ，b sinθ）（0＜θ＜π），如果椭圆┍上存在不同的两个交点P1、P2满足+=，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围．

正确答案

解：（1）设M（x，y）

∵=（+），

∴2（x+a，y-b）=（a，-2b）+（2a，-b）

∴，

解得x=y=-

M点坐标为（，-）

（2）由方程组，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2-b2）=0，

因为直线l1：y=k1x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2-p2＞0，

设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），

则x0==-，y0=k1x0+p=，由方程组，消y得方程（k2-k1）x=p，

又因为k2=-，所以x==x0，y=k2x=y0故E为CD的中点；

（3）求作点P1、P2的步骤：

1°求出PQ的中点E（-，），

2°求出直线OE的斜率k2==，

3°由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k1=，

4°从而得直线P1P2的方程：y-=（x+），

5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．

欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，

所以+＜1，化简得sinθ-cosθ＜，∴sin（θ-）＜，

又0＜q＜p，所以-＜θ-＜arcsin，

故q的取值范围是（0，+arcsin）

解析

解：（1）设M（x，y）

∵=（+），

∴2（x+a，y-b）=（a，-2b）+（2a，-b）

∴，

解得x=y=-

M点坐标为（，-）

（2）由方程组，消y得方程（a2k′1+b2）x2+2a2k1px+a2（p2-b2）=0，

因为直线l1：y=k1x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a2k12+b2-p2＞0，

设C（x1，y1）、D（x2，y2），CD中点坐标为（x0，y0），

则x0==-，y0=k1x0+p=，由方程组，消y得方程（k2-k1）x=p，

又因为k2=-，所以x==x0，y=k2x=y0故E为CD的中点；

（3）求作点P1、P2的步骤：

1°求出PQ的中点E（-，），

2°求出直线OE的斜率k2==，

3°由+=，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k1=，

4°从而得直线P1P2的方程：y-=（x+），

5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P1、P2的坐标．

欲使P1、P2存在，必须点E在椭圆内，

所以+＜1，化简得sinθ-cosθ＜，∴sin（θ-）＜，

又0＜q＜p，所以-＜θ-＜arcsin，

故q的取值范围是（0，+arcsin）

1

题型：简答题

|

简答题

如图，已知椭圆+y2=1（a为常数且a＞1），向量=（l，t）（t＞0），经过A（-a，0），以为方向向量的直线交椭圆于点B，直线BO交椭圆于点C．

（1）用t表示△ABC的面积S（t）；

（2）若t∈[，1]，求S（t）最大值．

正确答案

解：（1）设直线AB：y=t（x+a），代入椭圆方程，可得

（1+a2t2）x2+2a3t2x+a4t2-a2=0，

则-axB=，解得，xB=，

则yB=t（xB+a）=，

则△ABC的面积S（t）=S△AOB+S△AOC=|AO|•|yB-yC|

=a•2•=（t＞1）；

（2）由于S（t）=（t＞1）=，

令g（t）=a2t+，当a≥2时，g（t）在[，1]上递增，

即有g（）最小，且为2+a2，S（t）取得最大值；

当1＜a＜2时，g（t）在[，]上递减，[，1]上递增，

则g（）最小，且为2a，S（t）取得最大值a．

综上，当a≥2时，S（t）取得最大值；

当1＜a＜2时，S（t）取得最大值a．

解析

解：（1）设直线AB：y=t（x+a），代入椭圆方程，可得

（1+a2t2）x2+2a3t2x+a4t2-a2=0，

则-axB=，解得，xB=，

则yB=t（xB+a）=，

则△ABC的面积S（t）=S△AOB+S△AOC=|AO|•|yB-yC|

=a•2•=（t＞1）；

（2）由于S（t）=（t＞1）=，

令g（t）=a2t+，当a≥2时，g（t）在[，1]上递增，

即有g（）最小，且为2+a2，S（t）取得最大值；

当1＜a＜2时，g（t）在[，]上递减，[，1]上递增，

则g（）最小，且为2a，S（t）取得最大值a．

综上，当a≥2时，S（t）取得最大值；

当1＜a＜2时，S（t）取得最大值a．

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆的离心率为且过点（0，1）．

（Ⅰ）求此椭圆的方程；

（Ⅱ）已知定点E（-1，0），直线y=kx+2与此椭圆交于C、D两点．是否存在实数k，使得以线段CD为直径的圆过E点．如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

正确答案

解：（I）根据题意，，解得．

∴椭圆方程为．

（II）将y=kx+2代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

由直线与椭圆有两个交点，∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0，解得k2＞1．（*）

设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，（**）

若以CD为直径的圆过E点，则，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，代入上式得

，

化为（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0．

把（**）代入上式得

解得，满足k2＞1．

所以存在使得以线段CD为直径的圆过E点．

解析

解：（I）根据题意，，解得．

∴椭圆方程为．

（II）将y=kx+2代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，

由直线与椭圆有两个交点，∴△=（12k）2-36（1+3k2）＞0，解得k2＞1．（*）

设C（x1，y1），D（x2，y2），则，，（**）

若以CD为直径的圆过E点，则，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，

而y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，代入上式得

，

化为（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0．

把（**）代入上式得

解得，满足k2＞1．

所以存在使得以线段CD为直径的圆过E点．

1

题型：简答题

|

简答题

已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．

（1）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；

（2）若M（m，n）为圆C上任意一点，求的最大值与最小值；

（3）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标．

正确答案

解：圆C的方程为：（x+1）2+（y-2）2=2，

（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为-1；

当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，相切则：，得；

当切线的斜率为-1时，设切线方程为：y+x+b=0，由相切得：，得b=1或b=-3；

故所求切线方程为：或；或x+y+1=0，或x+y-3=0．

（2）设k=，则k表示直线MA的斜率，其中A（1，-2）是定点，

∵M（m，n）在圆C，∴圆C与直线MA有公共点，

而直线MA的方程为：y+2=k（x-1），

则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径即：，解得：-7≤k≤-1，

∴的最大值为-1，最小值为-7．

（3）由圆的切线长公式可得|PM|2=|PC|2-R2=（x+1）2+（y-2）2-2，

由|PM|=|PO|得，（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2，即2x-4y+3=0，即x=2y-，

此时|PM|=|PO|====，

∴当y=即P（，）时，|PM|最小．

解析

解：圆C的方程为：（x+1）2+（y-2）2=2，

（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为-1；

当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，相切则：，得；

当切线的斜率为-1时，设切线方程为：y+x+b=0，由相切得：，得b=1或b=-3；

故所求切线方程为：或；或x+y+1=0，或x+y-3=0．

（2）设k=，则k表示直线MA的斜率，其中A（1，-2）是定点，

∵M（m，n）在圆C，∴圆C与直线MA有公共点，

而直线MA的方程为：y+2=k（x-1），

则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径即：，解得：-7≤k≤-1，

∴的最大值为-1，最小值为-7．

（3）由圆的切线长公式可得|PM|2=|PC|2-R2=（x+1）2+（y-2）2-2，

由|PM|=|PO|得，（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2，即2x-4y+3=0，即x=2y-，

此时|PM|=|PO|====，

∴当y=即P（，）时，|PM|最小．

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆E：的离心率为，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F距离的最小值为2．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N．

（ⅰ）当过A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；

（ⅱ）若，求△ABM的面积．

正确答案

解：（1）由已知，，且a-c=2，所以a=4，c=2，所以b2=a2-c2=12，

所以椭圆E的方程为．

（2）（ⅰ）由（1），A（-4，0），F（2，0），设N（8，t）．

设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得

，解得．

所以圆的方程为，

即，

因为，当且仅当时，圆的半径最小，

故所求圆的方程为．

（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．

由，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-48=0

由-4+xM=，得，所以，

所以，，

所以==，

化简，得16k4-40k2-9=0，

解得，或，即，或，

此时总有yM=3，所以△ABM的面积为．

解析

解：（1）由已知，，且a-c=2，所以a=4，c=2，所以b2=a2-c2=12，

所以椭圆E的方程为．

（2）（ⅰ）由（1），A（-4，0），F（2，0），设N（8，t）．

设圆的方程为x2+y2+dx+ey+f=0，将点A，F，N的坐标代入，得

，解得．

所以圆的方程为，

即，

因为，当且仅当时，圆的半径最小，

故所求圆的方程为．

（ⅱ）由对称性不妨设直线l的方程为y=k（x+4）（k＞0）．

由，得（3+4k2）x2+32k2x+64k2-48=0

由-4+xM=，得，所以，

所以，，

所以==，

化简，得16k4-40k2-9=0，

解得，或，即，或，

此时总有yM=3，所以△ABM的面积为．

1

题型：简答题

|

简答题

已知直线x-2y+2=0经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点S是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AS，BS与直线l：x=4分别交于M，N两点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）（ⅰ）设直线AS，BS的斜率分别为k1，k2，求证k1•k2为定值；

（ⅱ）求线段MN的长度的最小值．

正确答案

（Ⅰ）解：∵直线x-2y+2=0经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，

∴A（-2，0），D（0，1），

∴椭圆 C的方程为．…（3分）

（Ⅱ）（ⅰ）证明：设点S的坐标为（x0，y0），

∴=…（5分）

∵点S在椭圆上，

∴，∴

∴…（7分）

（ⅱ）解：设直线AS的方程为y=k1（x+2），则M（4，6k1）且k1＞0…（9分）

∵

∴直线BS的方程为…（10分）

∴，…（11分）

故，…（12分）

∴，…（13分）

当且仅当，即时等号成立，

∴时，线段MN的长度取得最小值为．…（14分）

解析

（Ⅰ）解：∵直线x-2y+2=0经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点A和上顶点D，

∴A（-2，0），D（0，1），

∴椭圆 C的方程为．…（3分）

（Ⅱ）（ⅰ）证明：设点S的坐标为（x0，y0），

∴=…（5分）

∵点S在椭圆上，

∴，∴

∴…（7分）

（ⅱ）解：设直线AS的方程为y=k1（x+2），则M（4，6k1）且k1＞0…（9分）

∵

∴直线BS的方程为…（10分）

∴，…（11分）

故，…（12分）

∴，…（13分）

当且仅当，即时等号成立，

∴时，线段MN的长度取得最小值为．…（14分）

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆C的中心在坐标原点O，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

（Ⅰ）椭圆C的标准方程．

（Ⅱ）已知P、Q是椭圆C上的两点，若OP⊥OQ，求证：为定值．

（Ⅲ）当为（Ⅱ）所求定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

正确答案

（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．

∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

∴，2a=4，解得a=2，c=1．

∴b2=a2-c2=3．

∴椭圆C的标准方程为．

（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-x（k≠0），P（x，y）．

联立，化为，

∴|OP|2=x2+y2=，同理可得|OQ|2=，

∴=+=为定值．

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．

因此=为定值．

（III）当=定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．

证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则===，满足条件．

当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．

联立，化为，

∴|OP|2=x2+y2=，

同理可得|OQ|2=，

∴=+=．

化为（kk′）2=1，

∴kk′=±1．

∴OP⊥OQ或kk′=1．

因此OP⊥OQ不一定成立．

解析

（I）解：由题意可设椭圆的坐标方程为（a＞b＞0）．

∵离心率为，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为4．

∴，2a=4，解得a=2，c=1．

∴b2=a2-c2=3．

∴椭圆C的标准方程为．

（II）证明：当OP与OQ的斜率都存在时，设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=-x（k≠0），P（x，y）．

联立，化为，

∴|OP|2=x2+y2=，同理可得|OQ|2=，

∴=+=为定值．

当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，上式也成立．

因此=为定值．

（III）当=定值时，试探究OP⊥OQ是否成立？并说明理由．

OP⊥OQ不一定成立．下面给出证明．

证明：当直线OP或OQ的斜率一个为0而另一个不存在时，则===，满足条件．

当直线OP或OQ的斜率都存在时，

设直线OP的方程为y=kx（k≠0），则直线OQ的方程为y=k′x（k≠k′，k′≠0），P（x，y）．

联立，化为，

∴|OP|2=x2+y2=，

同理可得|OQ|2=，

∴=+=．

化为（kk′）2=1，

∴kk′=±1．

∴OP⊥OQ或kk′=1．

因此OP⊥OQ不一定成立．

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析