热门试卷

解：（1）由渐近线的方程是，可设双曲线C的方程为，

则它的右准线方程为，即．

∵右准线为，

∴=1，则λ=1，

∴所求双曲线C的方程是；

（2）∵点R在直线m上的射影S满足，

∴PS⊥QS，即△PSQ是直角三角形．

∴点R到直线m：x=的距离为|RS|=，

即|PQ|=2xR-2a…①

又由椭圆第二定义知．

∴|PQ|=|PF2|+|F2Q|=2（xP-xQ-1）=4xR-2…②

将②代入①，得xR=1-a．

又P、Q是过右焦点F2的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点．

∴xR≥2，

即1+a≥2，∴a≤-1．

故所求a的取值范围是a≤-1．

解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），…（1分）

依题意得，b=4，，又a2=b2+c2，…（3分）

∴a=5，b=4，c=3，…（4分）

所以椭圆C的方程为．…（5分）

（2）依题意得，，直线OP的方程为 y=x，…（6分）

因为S△OPQ=4，点Q到直线OP的距离为，…（7分）

所以点Q在与直线OP平行且距离为的直线l上，…（8分）

设l：y=x+m，则解得m=±4，…（10分）

当m=4时，由，消元得41x2+200x＜0，即，x∈Z，∴x=-4，-3，-2，-1，相应的y也是整数，

此时满足条件的点Q有4个，…（13分）

当m=-4时，由对称性，同理也得满足条件的点Q有4个．

综上，存在满足条件的点Q，这样的点有8个．…（14分）

解：（1）设直线方程为y=kx+2，代入椭圆C：=1，

消去y可得：（2+4k2）x2+16kx+8=0，

∴△=（16k）2-32（2+4k2）=0，

∴k=±，

∴直线m，n的方程为y=±x+2；

（2）由（1）知C（-，1），D（，1），则

l1、l2，分别为y=x+3，y=-x+3，

∵l1∩l2=A，

∴A（0，3），

∵F1（-，0），F2（，0），

∴=（，3）•（-，3）=7．

解：（I）双曲线C1：=1的两条渐近线方程分别为l1：；l2：．

∵A，B分别为l1，l2上的两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）．则，．

设P（x，y），∵动点P满足=+，∴（x，y）=（x1+x2，y1+y2）．

∴x=x1+x2，y=y1+y2=．

∵|AB|=，∴=．

∴=2，

∴，

化为，即为点P的轨迹方程C2；

（II）设E（x3，y3），F（x4，y4）．

过点S（0，-）且斜率为k的动直线l的方程为：．

联立，化为（25+100k2）x2-120kx-64=0．

∴，．

y3y4==k2x3x4-+．

y3+y4=．

假设在y轴上存在定点M（0，m），使以EF为直径的圆恒过这个点．

则=0．

∴（x3，y3-m）•（x4，y4-m）=x3x4+（y3-m）（y4-m）=x3x4+y3y4-m（y3+y4）+m2=0．

∴（1+k2）x3x4-+++m2=0．

∴-++=0．

化为：k2（20m2-20）+5m2+6m-11=0．

令，解得m=1．

因此定点M（0，1），使以EF为直径的圆恒过这个点．

解：（ I） 设P（x，y），

为A、B分别为直线和上的点，

故可设，．

∵，

∴，

∴，…（4分）

又，

∴．…（5分）

∴．　

即曲线C的方程为．…（6分）

（ II） 设N（s，t），M（x，y），

则由，

可得（x，y-16）=λ （s，t-16）．

故x=λs，y=16+λ （t-16）．…（8分）

∵M、N在曲线C上，

∴…（10分）

消去s得  ．

由题意知λ≠0，且λ≠1，

解得．…（12分）

又|t|≤4，

∴．

解得  （λ≠1）．

故实数λ的取值范围是（λ≠1）．…（14分）

解：（1）由题意椭圆的离心率，2a=4，所以a=2，c=1，b=，

故椭圆方程为，…（3分），

则直线l：x=-1，A（-2，0），B（2，0），

故C（-1，，D（-1，-）或C（-1，-），D（-1，），

当点C在x轴上方时，，，

所以k1：k2=3，

当点C在x轴下方时，同理可求得k1：k2=3，

综上，k1：k2=3为所求．…（6分）

（2）解：因为，所以a=2c，b=，

椭圆方程为3x2+4y2=12c2，A（-2c，0），B（2c，0），直线l：x=my-c，

设C（x1，y1），D（x2，y2），

由，消x得，（4+3m2）y2-6mxy-9c2=0，

所以…（8分）

故，①

由，及，…（9分）

得=，

将①代入上式得=，…（10分）

注意到y1y20，得，…（11分）

所以k1：k2=3为所求．…（12分）