热门试卷

解：（1）双曲线C1：2x2-y2=1左顶点A（-，0），

渐近线方程为：y=±x．

过A与渐近线y=x平行的直线方程为y=（x+），即y=x+1，

所以，解得．

所以所求三角形的面积为S=|OA||y|=；

（2）由题意，直线的斜率存在，

∵过点Q作直线l与双曲线C1有且只有一个交点，

∴直线l与双曲线的渐近线平行，

∵渐近线的斜率为±，

∴直线l的方程为y-=（x+），即y=x+2+或y=-x-2+；

（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为．

当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞），

则直线OM的方程为y=x，由得，

所以|ON|2=．

同理|OM|2=，

设O到直线MN的距离为d，

因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，

所以=+=3，

即d=．

综上，O到直线MN的距离是定值．

解：（1）由已知，

又a2=b2+c2，可解得a=2b  ①

在y=x2-b中，令y=0，得

∴②

由①②得，a=2，b=1

∴，

（2）证明：由得x2-kx-1=0

设A（x1，y1），B（x2，y2），

∴x1+x2=k，x1x2=-1

∵M（0，-1），

∴=x1x2+（y1+1）（y2+1）=

∴MA⊥MB

∴MD⊥ME

∴•=0，是定值

解：（1）由|A1B1|=，知a2+b2=7，①

由，知a=2c，②

又b2=a2-c2，③

由①②③解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为．

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

当直线n的斜率不存在时，由对称性取P（1，0），A（1，），B（1，-），

则．

当直线n的斜率存在时，令AB：y=kx+m，

∵|OP|=1，∴，即m2=1+k2，

∵|OP|=1，∴．

联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，

∴，（*）

∴，

将（*）代入并化简得，

∴，

由1+k2=m2，得m2≥1，∴，∴，

综上所述，的取值范围是（]．

解：（1）抛物线y2=2px的焦点为（，0），准线为x=-，

由抛物线的定义可得，3+=4，解得p=2；

（2）证明：由题意知，k1+k2=3，

不妨设AB的斜率k1=k，则CD的斜率k2=3-k，

所以AB的直线方程是：y=k（x-1），CD的直线方程是y=（3-k）（x-1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，得，k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

则x1+x2=，x1x2=1，

所以y1+y2=k（x1-1）+k（x2-1）=k（2+）-2k=，

因为M是AB的中点，所以点M（1+，），

同理可得，点N（1+，），

所以直线MN的方程是：y-=（x-1-），

化简得，y=（k-k2）（x-1）+，令x=1，得y=，

所以直线MN过定点（1，）．

解：（1）设椭圆的半焦距为c，依题意∴b=1，…．（2分）

∴所求椭圆方程为．…..（4分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．

①当AB⊥x轴时，设AB方程为：x=m，此时A，B两点关于x轴对称，又以|AB|为直径的圆过原点，

设A（m，m）代入椭圆方程得：…．（6分）

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．联立，

整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0，∴，．…．（8分）

又==．

由以|AB|为直径的圆过原点，则有．…..（10分）

即：x1x2+y1y2=0，故满足：得：4m2=3+3k2，所以m2=．

又点O到直线AB的距离为：．

综上所述：点O到直线AB的距离为定值．…（13分）