热门试卷

解：（1）依题意，得a=2，，

∴c=，b==1，

故椭圆C的方程为．…（3分）

（2）方法一：点M与点N关于x轴对称，

设M（x1，y1），N（x1，-y1），不妨设y1＞0．

由于点M在椭圆C上，所以．     （*）          …（4分）

由已知T（-2，0），则，，

∴

=（x1+2）2-

=

=．…（6分）

由于-2＜x1＜2，

故当时，取得最小值为．

由（*）式，，故，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到．

故圆T的方程为：．…（8分）

方法二：点M与点N关于x轴对称，

故设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，由已知T（-2，0），

则

=（2cosθ+2）2-sin2θ

=5cos2θ+8cosθ+3

=．…（6分）

故当时，取得最小值为，

此时，

又点M在圆T上，代入圆的方程得到．

故圆T的方程为：． …（8分）

（3）方法一：设P（x0，y0），

则直线MP的方程为：，

令y=0，得，

同理：，…（10分）

故      （**） …（11分）

又点M与点P在椭圆上，

故，，…（12分）

代入（**）式，

得：．

所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．               …（14分）

方法二：设M（2cosθ，sinθ），N（2cosθ，-sinθ），

不妨设sinθ＞0，P（2cosα，sinα），其中sinα≠±sinθ．

则直线MP的方程为：，

令y=0，得，

同理：，…（12分）

故．

所以|OR|•|OS|=|xR|•|xS|=|xR•xS|=4为定值．…（14分）

解：（1）由椭圆定义可知，

点P的轨迹C是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆．…（3分）

故曲线C的方程为． …（5分）

（2）存在△AOB面积的最大值．…（6分）

因为直线l过点E（-1，0），设直线l的方程为 x=my-1或y=0（舍）．

则

整理得 （m2+4）y2-2my-3=0．…（7分）

由△=（2m）2+12（m2+4）＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2）．

解得，．

则 ．

因为

=． …（10分）

设，，．

则g（t）在区间上为增函数．

所以．

所以，

当且仅当m=0时取等号，即．

所以S△AOB的最大值为．…（13分）

解：（I）依题意，f（x）=g（x），即ax2+ax=x-a，

整理，得ax2+（a-1）x+a=0，①

∵a≠0，函数f（x）与g（x）图象相交于不同的两点A、B，

∴△＞0，即△=（a-1）2-4a2=-3a2-2a+1=（3a-1）（-a-1）＞0．

∴-1＜a＜且a≠0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2，由①得，x1•x2=1＞0，x1+x2=-．

设点O到直线g（x）=x-a的距离为d，则d=，

∴S△OAB==．

∵∴-1＜a＜且a≠0，∴当a=-时，S△OAB有最大值；

（II）证明：由题意可知f（x）-g（x）=a（x-p）（x-q）

∴f（x）-（p-a）=a（x-p）（x-q）+x-a-（p-a）=（x-p）（ax-aq+1），

当x∈（0，p）时，x-p＜0，且ax-aq+1＞1-aq＞0，

∴f（x）-（p-a）＜0，

∴f（x）＜p-a．

解法一：由可得（5k2+m）x2+10kx+5-5m=0，

∴△=m-5k2-1≥0即m≥5k2+1≥1∴m≥1且m≠5；

解法二：直线恒过一定点（0，1），

当m＜5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长，

要使直线与椭圆恒有交点则，即1≤m＜5；

当m＞5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长，

可保证直线与椭圆恒有交点即m＞5．

综述：m≥1且m≠5；

解法三：直线恒过一定点（0，1），

要使直线与椭圆恒有交点，

即要保证定点（0，1）在椭圆内部，

即m≥1且m≠5．