热门试卷

解：（Ⅰ）依题意知a=2，，∴；              

（Ⅱ）∵A（0，1），B（0，-1），M （m，），且m≠0，

∴直线AM的斜率为k1=，直线BM斜率为k2=，

∴直线AM的方程为y=，直线BM的方程为y=，

由得（m2+1）x2-4mx=0，

∴，∴，

由得（9+m2）x2-12mx=0，

∴，∴；                

（Ⅲ）∵，，∠AMF=∠BME，5S△AMF=S△BME，

∴5|MA||MF|=|MB||ME|，∴，

∴，

∵m≠0，∴整理方程得，即（m2-3）（m2-1）=0，

又∵，∴m2-3≠0，∴m2=1，∴m=±1为所求．

（1）解：由抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），

设直线AB：y=x-，

由得x2-3px=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=3p，

由抛物线的定义得，|AB|=x1+x2+p=4p，

又|AB|=2，则p=，

即抛物线方程是y2=x；

（2）证明：由题设可设E（y12，y1），F（y22，y2），且P（1，1），

由PE与PF垂直，得=0，即（y1-1）（y2-1）+（y12-1）（y22-1）=0，

即（y1-1）（y2-1）[1+（y1+1）（y2+1）]=0，

即有y1y2=-（y1+y2）-2，

当y1+y2≠0时，直线EF：y-y1=（x-y12）．

即y=（x+y1y2）=[x-（y1+y2）-2]，

则直线恒过定点（2，-1）．

当y1+y2=0时，y1=-y2，由y1y2=-（y1+y2）-2=-2，

y12=2，直线EF：x=2，

故EF恒过定点，此点的坐标为（2，-1）．

解：（Ⅰ）由题意，设双曲线的方程为，

∵，

∴b=1，

故双曲线方程为．

（Ⅱ）设直线方程为，

代入得，

，

由得，且k2＜1，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则由韦达定理可得，

x1+x2=，x1x2=；

又∵，

∴

=

=，

解得，

又∵k2＜1，

∴，

∴直线方程为或．

解：（1）因为：焦点F到准线的距离为．

所以：p=．

所以所求方程为：x2=y

（2）设P（t，t2），Q（x，x2），N（x0x02），则直线MN的方程为y-x02=2x0（x-x0）

令y=0，得，

∴

∵NQ⊥QP，且两直线斜率存在，

∴kPM•kNQ=-1，即，

整理得，又Q（x，x2）在直线PM上，

则与共线，得

由（1）、（2）得=，

∴，

∴或（舍）

∴所求t的最小值为．

解：（Ⅰ）设点P（x0，y0），则，（1）…（1分）

设线段OP的垂直平分线与OP相交于点M，则M，…（2分）

椭圆的右焦点F（4，0），…（3分）

∵MF⊥OP，∴kOP•kMF=-1，

∴，

∴，（2）…（4分）

由（1），（2），解得，

∴点P的横坐标为． …（5分）

（Ⅱ）一般结论为：“过圆x2+y2=a2+b2上任意一点Q（m，n）作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．”…（6分）

证明如下：

（ⅰ）当过点Q与椭圆相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x=±a，

∵点Q在圆x2+y2=a2+b2上，

∴Q（±a，±b），

∴直线y=±b恰好为过点Q与椭圆相切的另一条切线，

∴两切线互相垂直．…（7分）

（ⅱ）当过点Q（m，n）与椭圆相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y-n=k（x-m），

由得 b2x2+a2[k（x-m）+n]2-a2b2=0，

整理得（b2+a2k2）x2+2a2k（n-km）x+a2（n-km）2-a2b2=0，…（8分）

∵直线与椭圆相切，∴△=4a4k2（n-km）2-4（b2+a2k2）[a2（n-km）2-a2b2]=0，

整理得（m2-a2）k2-2mnk+（n2-b2）=0，…（9分）

∴，…（10分）

∵点Q（m，n）在圆x2+y2=a2+b2上，

∴m2+n2=a2+b2，

∴m2-a2=b2-n2，

∴k1k2=-1，

∴两切线互相垂直，

综上所述，命题成立．…（13分）

解：（1）∵直线PF1⊥直线PF2

∴以O为圆心以c为半径的圆：x2+y2=c2与椭圆：有交点．即有解

又∵c2=a2-b2=m+1-1=m＞0

∴

∴m≥1

（2）设P（x，y），直线PF2方程为：y=k（x-c）

∵直线l的方程为：

准线L的方程为x=，

设点Q的坐标为（x1，y1），则x1=，

==m+=2-  ②

解可得m=2，从而x0=-，y0=±，c=，

得到PF2的方程y=±（-2）（x-）

解：（1）设P（x，y），由题意，可知曲线C1为抛物线，并且有，

化简，得抛物线C1的方程为：．

令x=0，得y=0或，

令y=0，得x=0或，

∴曲线C1与坐标轴的交点坐标为（0，0）和，．

由题意可知，曲线C1为抛物线，过焦点与准线垂直的直线为，化为．

可知此对称轴过原点，倾斜角为30°．

又焦点到的距离为．

∴C2是以（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，其方程为：y2=4x．

（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），

由题意知直线l2的斜率k存在且不为零，设直线l2的方程为y=k（x-m），则直线CD的方程为，

则得y2+4ky-4kb=0，

∴△=16k（k+b）＞0①

∴y1+y2=-4k，y1•y2=-4kb，

设弦CD的中点为G（x3，y3），则y3=-2k，x3=k（b+2k）．

∵G（x3，y3）在直线l2上，-2k=k（bk+2k2-m），即②

将②代入①，得0＜k2＜m-2，

==

设t=k2，则0＜t＜m-2．

构造函数，0＜t＜m-2．

由已知m＞2，当，即2＜m≤3时，f（t）无最大值，所以弦长|CD|不存在最大值．

当m＞3时，f（t）有最大值2（m-1），即弦长|CD|有最大值2（m-1）．

解：（Ⅰ）∵F是椭圆（a＞b＞0）的一个焦点，A，B是椭圆的两个顶点，

椭圆的离心率为，

∴，∴=，∴b=，c=，

设F（-c，0），B（0，）=（0，），

∵kBF==，BC⊥BF，

∴kBC=-，∴=，∴xC====3c，

∴C（3c，0），

设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

把B（0，），C（3c，0），F（-c，0）代入，得：

，

解得D=-2c，E=0，F=-3c2，

∴圆M的方程为（x-c）2+y2=4c2，

∵圆M与直线l1：x+y+3=0相切，

∴，解得c=1，

∴a=2，b=，

∴所求的椭圆方程为．

（Ⅱ）∵A是椭圆方程为的左顶点，∴A（-2，0），

∵圆M的方程为（x-1）2+y2=4，

∴过点A斜率不存在的直线与圆不相交，

∴设直线l2的方程为y=k（x+2），

∵，又||=||=2，

∴cos＜＞==-，

∴∠PMQ=120°，

圆心M到直线l2的距离d=，

∴，解得k=，

∴直线l2的方程为y=（x+2）．