直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A．设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距．

（1）用a和n，表示f（n）；

（2）求对所有n都有成立的a的最小值；

（3）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由．

正确答案

解析

解：（1）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，

∴A

求导，可得y′=-2x

∴抛物线在点A处的切线方程为y=-（x-），即y=-x+an

∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，

∴f（n）=an；

（2）由（1）知f（n）=an，则成立的充要条件是an≥2n3+1

即知，an≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥

当a=，n≥3时，an＞4n=（1+3）n≥1+3+9+27=1+2n3+n[5（n-2）2+（2n-5）]＞2n3+1

当n=0，1，2时，（）n≥2n3+1

∴a=时，对所有n都有成立

∴a的最小值为；

（3）由（1）知f（k）=ak，下面证明：＞．

首先证明：当0＜x＜1时，≥x

设函数g（x）=x（x2-x）+1，0＜x＜1，则g′（x）=x（x-）

当0＜x＜时，g′（x）＜0；当＜x＜1时，g′（x）＞0

故函数g（x）在区间（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0

∴当0＜x＜1时，g（x）≥0，∴≥x

由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此，

从而=++…+=＞=

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线C1的方程为y=x2，抛物线C2的方程为y=2-x2，C1和C2交于A，B两点，D是曲线段AOB段上异于A，B的任意一点，直线AD交C2于点E，G为△BDE的重心，过G作C1的两条切线，切点分别为M，N，求线段MN的长度的取值范围．

正确答案

解：设A（-1，1），B（1，1），D（），（-1＜x0＜1），…（2分）

直线AD：y=（x0-1）x+x0，代入y=2-x2，

E（2-x0，-+4x0-2），G（1，），

设切点N（），M（），

2x1=，3x12-6x1+4x0-1=0，

同理，，

则x1，x2是方程3x2-6x+4x0-1=0的两根，…（6分）

∴|NM|==，（-1＜x0＜1）…（10分）

则|MN|∈（0，）．…（12分）

解析

解：设A（-1，1），B（1，1），D（），（-1＜x0＜1），…（2分）

直线AD：y=（x0-1）x+x0，代入y=2-x2，

E（2-x0，-+4x0-2），G（1，），

设切点N（），M（），

2x1=，3x12-6x1+4x0-1=0，

同理，，

则x1，x2是方程3x2-6x+4x0-1=0的两根，…（6分）

∴|NM|==，（-1＜x0＜1）…（10分）

则|MN|∈（0，）．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线l：x=-2的距离小1．

（1）求曲线C的方程；

（2）斜率为1的直线l过点F，且与曲线C交与A、B两点，求线段AB的长．

正确答案

解：（1）由已知条件知，

点M到F（1，0）的距离与它到直线l‘：x=-1的距离相等，

∴点M的轨迹C是以F为焦点，

l'为准线的抛物线，

∴曲线C的方程为y2=4x．…（4分）

（2）设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则由抛物线的定义可得|AF|=dA=x1+1|BF|=dB=x2+1…（6分）

于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2

由条件知直线l方程为：y=x-1代入y2=4x，

得（x-1）2=4x

即 x2-6x+1=0∴x1+x2=6，

故|AB|=x1+x2+2=8．…（10分）

解析

解：（1）由已知条件知，

点M到F（1，0）的距离与它到直线l‘：x=-1的距离相等，

∴点M的轨迹C是以F为焦点，

l'为准线的抛物线，

∴曲线C的方程为y2=4x．…（4分）

（2）设交点A，B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），

则由抛物线的定义可得|AF|=dA=x1+1|BF|=dB=x2+1…（6分）

于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2

由条件知直线l方程为：y=x-1代入y2=4x，

得（x-1）2=4x

即 x2-6x+1=0∴x1+x2=6，

故|AB|=x1+x2+2=8．…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线D的顶点是椭圆Q：的中心O，焦点与椭圆Q的右焦点重合，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线D上的两个动点，且（Ⅰ）求抛物线D的方程及y1y2的值；

（Ⅱ）求线段AB中点轨迹E的方程；

（Ⅲ）求直线与曲线E的最近距离．

正确答案

解：（I）由题意，可设抛物线方程为y2=2px

由a2-b2=4-3=1⇒c=1．

∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2

∴抛物线方程为y2=4x（2分）

∵点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线上的两个动点，

所以：y12=4x1，y22=4x2，

∴（y1y2）2=16x1x2．

∵

∴，

∴x1x2+y1y2=0．

∴=0⇒=0

∵y1y2≠0

∴y1y2=-16．

（Ⅱ）∵∴，

设OA：y=kx，OB：y=-x

由⇒A（）．同理可得B（4k2，-4k）

设AB的中点为（x，y），则由消去k，得y2=2x-8．（10分）

（Ⅲ）设与直线y=x平行的直线x-2y+m=0．

由题设可知直线x-2y+m=0应与曲线E：y2=2x-8相切

由消去x整理得：y2-4y+2m+8=0．

所以△=16-4（2m+8）=0⇒m=-2

∴直线y=x 与x-2y-2=0之间的距离即为直线与曲线E的最近距离．

所以所求距离为：d==

解析

解：（I）由题意，可设抛物线方程为y2=2px

由a2-b2=4-3=1⇒c=1．

∴抛物线的焦点为（1，0），∴p=2

∴抛物线方程为y2=4x（2分）

∵点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1x2≠0）是抛物线上的两个动点，

所以：y12=4x1，y22=4x2，

∴（y1y2）2=16x1x2．

∵

∴，

∴x1x2+y1y2=0．

∴=0⇒=0

∵y1y2≠0

∴y1y2=-16．

（Ⅱ）∵∴，

设OA：y=kx，OB：y=-x

由⇒A（）．同理可得B（4k2，-4k）

设AB的中点为（x，y），则由消去k，得y2=2x-8．（10分）

（Ⅲ）设与直线y=x平行的直线x-2y+m=0．

由题设可知直线x-2y+m=0应与曲线E：y2=2x-8相切

由消去x整理得：y2-4y+2m+8=0．

所以△=16-4（2m+8）=0⇒m=-2

∴直线y=x 与x-2y-2=0之间的距离即为直线与曲线E的最近距离．

所以所求距离为：d==

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=8，证明：直线AB过定点．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，

点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，

∴b=2，，

所求椭圆方程为． …（5分）

（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，

依题意m≠±2．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0．…（7分）

则，．

∵，

∴，

即2k+（m-2）•=8．…（10分）

所以k=-，整理得 m=．

故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）-2．

所以直线AB过定点（-，-2）． …（12分）

若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，

设A（x0，y0），B（x0，-y0），

由已知，

得．此时AB方程为x=-，显然过点（-，-2）．

综上，直线AB过定点（-，-2）．…（13分）

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，

点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，

∴b=2，，

所求椭圆方程为． …（5分）

（Ⅱ）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，

依题意m≠±2．

设A（x1，y1），B（x2，y2），

由，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0．…（7分）

则，．

∵，

∴，

即2k+（m-2）•=8．…（10分）

所以k=-，整理得 m=．

故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）-2．

所以直线AB过定点（-，-2）． …（12分）

若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x0，

设A（x0，y0），B（x0，-y0），

由已知，

得．此时AB方程为x=-，显然过点（-，-2）．

综上，直线AB过定点（-，-2）．…（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点．

（1）当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标；

（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由．

正确答案

解：（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）

代入椭圆方程并化简得：5x2+16x+12=0，（2分）

解之得，∴．（4分）

（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），

则化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0．（6分）

∵此方程有一根为-2，∴，（7分）

同理可得．（8分）

由（1）知若存在定点，则此点必为．（9分）

∵，（11分）

同理可计算得．（13分）

∴直线MN过x轴上的一定点．（16分）

解析

解：（1）直线AM的斜率为1时，直线AM：y=x+2，（1分）

代入椭圆方程并化简得：5x2+16x+12=0，（2分）

解之得，∴．（4分）

（2）设直线AM的斜率为k，则AM：y=k（x+2），

则化简得：（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0．（6分）

∵此方程有一根为-2，∴，（7分）

同理可得．（8分）

由（1）知若存在定点，则此点必为．（9分）

∵，（11分）

同理可计算得．（13分）

∴直线MN过x轴上的一定点．（16分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B（0，-1），且其右焦点到直线的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）设椭圆的方程为，由已知得b=1．

设右焦点为（c，0），由题意得，∴，

∴a2=b2+c2=3．

∴椭圆的方程为．

（2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得

（1+3k2）x2+9kx+=0．

由△=81k2-15（1+3k2）＞0得，

设点M（x1，y1），N（x2，y2），

则，

设M、N的中点为P，则点P的坐标为．

∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．

，化简，得．

∵，∴，

所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为

或．

解析

解：（1）设椭圆的方程为，由已知得b=1．

设右焦点为（c，0），由题意得，∴，

∴a2=b2+c2=3．

∴椭圆的方程为．

（2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得

（1+3k2）x2+9kx+=0．

由△=81k2-15（1+3k2）＞0得，

设点M（x1，y1），N（x2，y2），

则，

设M、N的中点为P，则点P的坐标为．

∵|BM|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．

，化简，得．

∵，∴，

所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为

或．

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C上的动点P（x，y）满足到点F（0，1）的距离比到直线l：y=-2的距离小1．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）动点E在直线l上，过点E分别作曲线C的切线EA，EB，切点为A、B．

（ⅰ）求证：直线AB恒过一定点，并求出该定点的坐标；

（ⅱ）在直线l上是否存在一点E，使得△ABM为等边三角形（M点也在直线l上）？若存在，求出点E坐标，若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）曲线C的方程x2=4y（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），，

∵过点A的抛物线切线方程为，

∵切线过E点，∴，整理得：x12-2ax1-8=0

同理可得：x22-2ax2-8=0，∴x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1•x2=-8可得AB中点为

又，

∴直线AB的方程为即，∴AB过定点（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点，直线AB的方程为

当a≠0时，则AB的中垂线方程为，

∴AB的中垂线与直线y=-2的交点∴

∵

若△ABM为等边三角形，则，

∴，

解得a2=4，∴a=±2，此时E（±2，-2），

当a=0时，经检验不存在满足条件的点E

综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．（15分）

解析

解：（Ⅰ）曲线C的方程x2=4y（5分）

（Ⅱ）（ⅰ）设E（a，-2），，

∵过点A的抛物线切线方程为，

∵切线过E点，∴，整理得：x12-2ax1-8=0

同理可得：x22-2ax2-8=0，∴x1，x2是方程x2-2ax-8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1•x2=-8可得AB中点为

又，

∴直线AB的方程为即，∴AB过定点（0，2）（10分）

（ⅱ）由（ⅰ）知AB中点，直线AB的方程为

当a≠0时，则AB的中垂线方程为，

∴AB的中垂线与直线y=-2的交点∴

∵

若△ABM为等边三角形，则，

∴，

解得a2=4，∴a=±2，此时E（±2，-2），

当a=0时，经检验不存在满足条件的点E

综上可得：满足条件的点E存在，坐标为E（±2，-2）．（15分）

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆经过点M（-2，-1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．

（I）求椭圆C的方程；

（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

正确答案

（Ⅰ）解：由题设，∵椭圆经过点M（-2，-1），离心率为．

∴，①且=，②

由①、②解得a2=6，b2=3，

∴椭圆C的方程为．…（6分）

（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．

设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2-4k）x+8k2-8k-4=0，

∵-2，x1是该方程的两根，∴-2x1=，即x1=．

设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2），同理得x2=．…（9分）

因y1+1=k（x1+2），y2+1=-k（x2+2），

故kPQ====1，

因此直线PQ的斜率为定值．…（12分）

解析

（Ⅰ）解：由题设，∵椭圆经过点M（-2，-1），离心率为．

∴，①且=，②

由①、②解得a2=6，b2=3，

∴椭圆C的方程为．…（6分）

（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．

设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2-4k）x+8k2-8k-4=0，

∵-2，x1是该方程的两根，∴-2x1=，即x1=．

设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2），同理得x2=．…（9分）

因y1+1=k（x1+2），y2+1=-k（x2+2），

故kPQ====1，

因此直线PQ的斜率为定值．…（12分）

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题型：填空题

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填空题

点P在抛物线y2=6上运动，点Q与点P关于点（1，1）对称，则Q点轨迹方程为______．

正确答案

（y-2）2=-6（x-2）

解析

解：设Q（x，y），P（x1，y1），

∵点Q与点P关于点（1，1）对称，

∴，即．

∵点P在抛物线y2=6x上运动，

∴，

即（2-y）2=6（2-x），整理得：（y-2）2=-6（x-2）．

故答案为：（y-2）2=-6（x-2）．

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