直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点．

（1）边长为的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．

①求轨迹E的方程；

②过轨迹E上一定点P（x0，y0）作相互垂直的两条直线l1，l2，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设l1被圆O截得的弦长为a，设l2被轨迹E截得的弦长为b，求a+b的最大值．

（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．

正确答案

解：（1）①如图连接OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以OA2+OB2=AB2，

所以，所以，在△OBC中，OC2=OB2+BC2-2OB•BC=5，（2分）

所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，

所以轨迹E的方程为x2+y2=5；（3分）

②设点O到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，

因为l1⊥l2，所以d12+d22=OP2=x02+y02=5，（5分）

则，

则

≤4=4[12-2（d12+d22）]=4（12-10）=8，（8分）

当且仅当，即时取“=”，

所以a+b的最大值为；（9分）

（2）设正方形边长为a，∠OBA=θ，则，．

当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在△OBC中，，

即==，

由，此时；（12分）

当A、B、C、D按逆时针方向时，在△OBC中，，

即==，

由，此时，（15分）

综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为．（16分）

解析

解：（1）①如图连接OB，OA，因为OA=OB=1，AB=，所以OA2+OB2=AB2，

所以，所以，在△OBC中，OC2=OB2+BC2-2OB•BC=5，（2分）

所以轨迹E是以O为圆心，为半径的圆，

所以轨迹E的方程为x2+y2=5；（3分）

②设点O到直线l1，l2的距离分别为d1，d2，

因为l1⊥l2，所以d12+d22=OP2=x02+y02=5，（5分）

则，

则

≤4=4[12-2（d12+d22）]=4（12-10）=8，（8分）

当且仅当，即时取“=”，

所以a+b的最大值为；（9分）

（2）设正方形边长为a，∠OBA=θ，则，．

当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在△OBC中，，

即==，

由，此时；（12分）

当A、B、C、D按逆时针方向时，在△OBC中，，

即==，

由，此时，（15分）

综上所述，线段OC长度的最小值为，最大值为．（16分）

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题型：单选题

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单选题

已知F1，F2为椭圆上的两个焦点，A，B是过焦点F1的一条动弦，则△ABF2的面积的最大值为（　　）

A

B

C1

D

正确答案

B

解析

解：∵椭圆，

∴F1（0，1），F2（0，-1），

设A（x1，y1），B（x2，y2），AB方程为y=kx+1，

代入椭圆方程，整理可得（2+k2）x2+2kx-1=0，

∴x1+x2=，，

∴△ABF2的面积为S=|F1F2||x1-x2|==，

令t=k2+1（t≥1），则S==≤，当且仅当t=1，即k=0时取等号，

∴△ABF2的面积的最大值为．

故选B．

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题型：简答题

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简答题

“笑脸曲线”由曲线C1和C2构成，如图，C1是以O为顶点、F为焦点的抛物线的一部分，曲线C2是以O为焦点、Q为顶点的抛物线的一部分，A（4，2）是曲线C1和C2的交点，

（1）求曲线C1和C2所在的抛物线方程；

（2）在C2上是否存在点P，AP交x轴于M，使△OAM为等腰三角形？如果存在，求出P点坐标，如果不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）设抛物线C1：x2=2py，C2：x2=4q（y+q），p＞0，q＞0，

∵A（4，2）是曲线C1和C2的交点，

把A（4，2）分别代入抛物线C1：x2=2py，C2：x2=4q（y+q），p＞0，q＞0，

得32=4p，解得p=8；

32=4q（2+q），解得q=2．

所以抛物线C1方程为x2=16y，

抛物线C2方程x2=8（y+2）．

（2）假设存在点P满足条件，使△OAM为等腰三角形，

第一种可能是OA为等腰三角形的底，

于是AM倾斜角是OA倾斜角的二倍，

∵kOA=，kAP==

直线AP的方程为y-2=（x-4），

与x2=8（y+2）联立，消去y得：

7x2-32x+32=0，解得x=4（A点横坐标），x=，y=-，

故存在点P1（，-），使△OAM为等腰三角形．

第二种可能是OM为等腰三角形的底，

此时，直线OA与直线MA斜率互为相反数，

M（8，0），直线AM的方程为y=-（x-8），

与抛物线C2方程x2=8（y+2）．联立，消去y得：

x2=8（y+2）=8[-（x-8）+2]，

整理得x2+2x-48=0，x=-6，y=7．

所以存在P2（-6，7），使△OAM为等腰三角形；

第三种可能是AM为等腰三角形的底，

此时，直线AM3的倾斜角是直线OA倾斜角的一半，

于是=，

解得tan∠AM3O=3-2，

故直线AM3的方程为y-2=（3-2）（x-4），

与方程x2=8（y+2）联立，消去y得：

x2-（24-16）x-160+96=0，x+4=24-16

故存在点P3（24-20，170-120），使△OAM为等腰三角形．

解析

解：（1）设抛物线C1：x2=2py，C2：x2=4q（y+q），p＞0，q＞0，

∵A（4，2）是曲线C1和C2的交点，

把A（4，2）分别代入抛物线C1：x2=2py，C2：x2=4q（y+q），p＞0，q＞0，

得32=4p，解得p=8；

32=4q（2+q），解得q=2．

所以抛物线C1方程为x2=16y，

抛物线C2方程x2=8（y+2）．

（2）假设存在点P满足条件，使△OAM为等腰三角形，

第一种可能是OA为等腰三角形的底，

于是AM倾斜角是OA倾斜角的二倍，

∵kOA=，kAP==

直线AP的方程为y-2=（x-4），

与x2=8（y+2）联立，消去y得：

7x2-32x+32=0，解得x=4（A点横坐标），x=，y=-，

故存在点P1（，-），使△OAM为等腰三角形．

第二种可能是OM为等腰三角形的底，

此时，直线OA与直线MA斜率互为相反数，

M（8，0），直线AM的方程为y=-（x-8），

与抛物线C2方程x2=8（y+2）．联立，消去y得：

x2=8（y+2）=8[-（x-8）+2]，

整理得x2+2x-48=0，x=-6，y=7．

所以存在P2（-6，7），使△OAM为等腰三角形；

第三种可能是AM为等腰三角形的底，

此时，直线AM3的倾斜角是直线OA倾斜角的一半，

于是=，

解得tan∠AM3O=3-2，

故直线AM3的方程为y-2=（3-2）（x-4），

与方程x2=8（y+2）联立，消去y得：

x2-（24-16）x-160+96=0，x+4=24-16

故存在点P3（24-20，170-120），使△OAM为等腰三角形．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆的离心率是，A1，A2分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足．

（1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；

（2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

正确答案

（1）解：A1（-a，0），A2（a，0），F（c，0），设D（x，0），

由有，

又|FD|=1，∴x-c=1，∴x=c+1，

于是，

∴c+1=（c+1+a）（c+1-a），

又∵，∴，

∴c2-c=0，又c＞0，∴c=1，

∴，

∴椭圆，且D（2，0）．

（2）证明：∵Q（2，2k+m），设P（x0，y0），

由⇒x2+2（kx+m）2=2⇒（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，

由于△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=0⇒2k2-m2+1=0⇒m2=2k2+1（*），

而由韦达定理：，

∴，

由（*）可得=-，∴，∴，

设以线段PQ为直径的圆上任意一点M（x，y），

由有，

由对称性知定点在x轴上，令y=0，取A时满足上式，故过定点C．

解析

（1）解：A1（-a，0），A2（a，0），F（c，0），设D（x，0），

由有，

又|FD|=1，∴x-c=1，∴x=c+1，

于是，

∴c+1=（c+1+a）（c+1-a），

又∵，∴，

∴c2-c=0，又c＞0，∴c=1，

∴，

∴椭圆，且D（2，0）．

（2）证明：∵Q（2，2k+m），设P（x0，y0），

由⇒x2+2（kx+m）2=2⇒（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0，

由于△=16k2m2-4（2k2+1）（2m2-2）=0⇒2k2-m2+1=0⇒m2=2k2+1（*），

而由韦达定理：，

∴，

由（*）可得=-，∴，∴，

设以线段PQ为直径的圆上任意一点M（x，y），

由有，

由对称性知定点在x轴上，令y=0，取A时满足上式，故过定点C．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作直线l与椭圆C交于点M、N．

（1）若椭圆C的离心率为，右准线的方程为x=4，M为椭圆C上顶点，直线l交右准线于点P，求的值；

（2）当a2+b2=4时，设M为椭圆C上第一象限内的点，直线l交y轴于点Q，F1M⊥F1Q，证明：点M在定直线上．

正确答案

（1）解：设F2（c，0），则，解得，

所以椭圆C的方程为，…（2分）

则直线l的方程为，令x=4，可得，

联立，得，所以，，…（4分）

所以．…（6分）

（2）证明：设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），F2（c，0），则直线l的方程为，

令x=0，可得，…（8分）

由F1M⊥F1Q可知，，整理得，

又c2=a2-b2=2a2-4，

联立，解得，…（14分）

所以点M在定直线x+y=2上． …（16分）

解析

（1）解：设F2（c，0），则，解得，

所以椭圆C的方程为，…（2分）

则直线l的方程为，令x=4，可得，

联立，得，所以，，…（4分）

所以．…（6分）

（2）证明：设M（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），F2（c，0），则直线l的方程为，

令x=0，可得，…（8分）

由F1M⊥F1Q可知，，整理得，

又c2=a2-b2=2a2-4，

联立，解得，…（14分）

所以点M在定直线x+y=2上． …（16分）

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题型：简答题

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简答题

平面内动点P（x，y）与两定点A（-2，0），B（2，0）连级的斜率之积等于，若点P的轨迹为曲线E，过点（-1，0）作斜率不为零的直线BC交曲线E于点B、C．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）求证：AB⊥AC；

（Ⅲ）求△ABC面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：，化简得x2+3y2=4

曲线E的方程为，x2+3y2=4，（x≠±2）…（4分）

（Ⅱ）证明：BC斜率不为0，所以可设BC方程为my=x+1，

与椭圆联立得：（m2+3）y2-2my-3=0，

设B（x1，y1），C（x2，y2），所以．…（6分）

，

所以AB⊥AC…（8分）

（Ⅲ）△ABC面积为，…（10分）

当m=0时面积最大为1．…（12分）

解析

解：（Ⅰ）设动点P坐标为（x，y），当x≠±2时，由条件得：，化简得x2+3y2=4

曲线E的方程为，x2+3y2=4，（x≠±2）…（4分）

（Ⅱ）证明：BC斜率不为0，所以可设BC方程为my=x+1，

与椭圆联立得：（m2+3）y2-2my-3=0，

设B（x1，y1），C（x2，y2），所以．…（6分）

，

所以AB⊥AC…（8分）

（Ⅲ）△ABC面积为，…（10分）

当m=0时面积最大为1．…（12分）

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题型：简答题

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简答题

斜率为2的直线l与双曲线交于A，B两点，且|AB|=4，求直线l的方程．

正确答案

解：由题意，设直线l的方程为y=2x+b．

代入双曲线，可得10x2+12bx+3b2+6=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1•x2=，

∴|AB|=•|x1-x2|=•=4，

∴b=±，

∴直线l的方程为．

解析

解：由题意，设直线l的方程为y=2x+b．

代入双曲线，可得10x2+12bx+3b2+6=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1•x2=，

∴|AB|=•|x1-x2|=•=4，

∴b=±，

∴直线l的方程为．

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题型：简答题

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简答题

设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作直线l交椭圆于P、Q两点．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若PB2⊥QB2，求直线l的方程；

（3）设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，]，求△B2PQ的面积S的取值范围．

正确答案

解：（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，得c=2b，

在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．

因此所求椭圆的标准方程为：．

（2）由（1）得B1（-2，0），可设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆的方程．化为（5+m2）y2-4my-16=0．

设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，，

又，B2P⊥B2Q，

所以=（m2+1）y1y2-4m（y1+y2）+16===0，

∴m2=4，解得m=±2；

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x-2y+2=0．

（3）当斜率不存在时，直线l：x=-2，此时|MN|=4，，

当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），则圆心O到直线l的距离，

因此t=，得，

联立方程组：得（1+5k2）y2-4ky-16k2=0，

由韦达定理知，，

所以，

因此．

设，所以，所以，

综上所述：△B2PQ的面积．

解析

解：（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．

因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，得c=2b，

在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．

因此所求椭圆的标准方程为：．

（2）由（1）得B1（-2，0），可设直线l的方程为x=my-2，代入椭圆的方程．化为（5+m2）y2-4my-16=0．

设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，，

又，B2P⊥B2Q，

所以=（m2+1）y1y2-4m（y1+y2）+16===0，

∴m2=4，解得m=±2；

所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x-2y+2=0．

（3）当斜率不存在时，直线l：x=-2，此时|MN|=4，，

当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），则圆心O到直线l的距离，

因此t=，得，

联立方程组：得（1+5k2）y2-4ky-16k2=0，

由韦达定理知，，

所以，

因此．

设，所以，所以，

综上所述：△B2PQ的面积．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知平面内一动点A到两个定点F1、F2的距离之和为4，线段F1F2的长为2．

（1）求动点A的轨迹Γ的方程；

（2）过点F1作直线l与轨迹Γ交于A、C两点，且点A在线段F1F2的上方，线段AC的垂直平分线为m．

①求△AF1F2的面积的最大值；

②轨迹Γ上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由．

正确答案

解：（1）因为4＞2，所以轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，

以线段F1F2的中点为坐标原点，以F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

可得动点A的轨迹Γ的方程为；

（2）①由题意，|F1F2|=2，当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF1F2的高最大，面积最大，

∴△AF1F2的面积的最大值为•2•1=；

②当AC⊥F1F2时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，

下面证明AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．

假设存在这样的两个不同的点S（x3，y3），T（x4，y4），

设ST的中点为H（m，n），则kOH•kST=-，kOMkAC=-，

∴kOH=kOM=-，

∴直线m过原点，斜率为-≠-

∴假设不成立，

∴AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．

解析

解：（1）因为4＞2，所以轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，

以线段F1F2的中点为坐标原点，以F1F2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，

可得动点A的轨迹Γ的方程为；

（2）①由题意，|F1F2|=2，当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF1F2的高最大，面积最大，

∴△AF1F2的面积的最大值为•2•1=；

②当AC⊥F1F2时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，

下面证明AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．

假设存在这样的两个不同的点S（x3，y3），T（x4，y4），

设ST的中点为H（m，n），则kOH•kST=-，kOMkAC=-，

∴kOH=kOM=-，

∴直线m过原点，斜率为-≠-

∴假设不成立，

∴AC与F1F2不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（1，），离心率为．过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为-的直线分别交椭圆C于M，N两点．

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）直线MN是否过定点D？若过定点D，求出点D的坐标；若不过，请说明理由．

正确答案

解：（I）由已知，∴a=2，b=1，

∴椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）直线MN过定点D（0，0）．

证明如下：由题意，A（2，0），直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，

设AM的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0

∴2xM=，

∴xM=，

∴yM=k（xM-2）=，

∴M（，），

∵椭圆右顶点A的两条斜率乘积为-的直线分别交椭圆C于M，N两点，

∴设直线AN的方程为y=-（x-2），

同理可得N（，），

xM≠xN，即k时，kMN=，

∴直线MN的方程为y-=（x-），即y=x，

∴直线MN过定点D（0，0）．

xM=xN，即k=时，直线MN过定点D（0，0）．

综上所述，直线MN过定点D（0，0）．

解析

解：（I）由已知，∴a=2，b=1，

∴椭圆C的标准方程为；

（Ⅱ）直线MN过定点D（0，0）．

证明如下：由题意，A（2，0），直线AM和直线AN的斜率存在且不为0，

设AM的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0

∴2xM=，

∴xM=，

∴yM=k（xM-2）=，

∴M（，），

∵椭圆右顶点A的两条斜率乘积为-的直线分别交椭圆C于M，N两点，

∴设直线AN的方程为y=-（x-2），

同理可得N（，），

xM≠xN，即k时，kMN=，

∴直线MN的方程为y-=（x-），即y=x，

∴直线MN过定点D（0，0）．

xM=xN，即k=时，直线MN过定点D（0，0）．

综上所述，直线MN过定点D（0，0）．

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