直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

（2014秋•市中区校级月考）若直线y=-x+m与曲线y=只有一个公共点，则m的取值范围是（　　）

A-1≤m＜2

B-≤m≤2

C-2≤m＜2或m=5

D-≤m≤2或m=5

正确答案

D

解析

解：根据曲线y=，得到5-x2≥0，解得：-2≤x≤2；y≥0，

画出曲线的图象，为椭圆在x轴上边的一部分，如图所示：

当直线y=-x+m在直线l1的位置时，直线与椭圆相切，故只有一个交点，

把直线y=-x+m代入椭圆方程得：5x2-8mx+4m2-20=0，得到△=0，

即64m2-20（4m2-20）=0，化简得：m2=25，解得m=5或m=-5（舍去），

则m=5时，直线与曲线只有一个公共点；

当直线y=-x+m在直线l2位置时，直线与曲线刚好有两个交点，此时m=2，

当直线y=-x+m在直线l3位置时，直线与曲线只有一个公共点，此时m=-2，

则当-2≤m＜2时，直线与曲线只有一个公共点，

综上，满足题意得m的范围是-2≤m＜2或m=5．

故选D

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆x2+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x2-=1．设点P在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x1，x2，证明x1•x2=1；

（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且•≤15，求S-S的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），

则直线AP的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2-4=0，

解得x=-1或x=，故x2=．

同理可得x1=．

所以x1•x2=1．

（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），

则=（-1-x1，y1），=（1-x1，y1）．

因为•≤15，所以（-1-x1）（1-x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．

因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4．

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．

因为S1=|y2|，S2=，

所以S-S==

由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．

设t=，则1＜t≤4，S-S=5-t-．

设f（t）=5-t-，则f′（t）=-1+=，

当1＜t＜2时，f‘（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，

所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．

因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，

所以当t=4，即x1=2时，S-S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S-S的最大值为f（2）=1．

所以S-S的取值范围为[0，1]．

解析

（Ⅰ）证明：设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），直线AP的斜率为k（k＞0），

则直线AP的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k2-4=0，

解得x=-1或x=，故x2=．

同理可得x1=．

所以x1•x2=1．

（Ⅱ）设点P（x1，y1）、T（x2，y2）（xi＞0，yi＞0，i=1，2），

则=（-1-x1，y1），=（1-x1，y1）．

因为•≤15，所以（-1-x1）（1-x1）+y12≤15，即x12+y12≤16．

因为点P在双曲线上，所以，所以x12+4x12-4≤16，即x12≤4．

因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x1≤2．

因为S1=|y2|，S2=，

所以S-S==

由（Ⅰ）知，x1•x2=1，即．

设t=，则1＜t≤4，S-S=5-t-．

设f（t）=5-t-，则f′（t）=-1+=，

当1＜t＜2时，f‘（t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，

所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．

因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，

所以当t=4，即x1=2时，S-S的最小值为f（4）=0，当t=2，即x1=时，S-S的最大值为f（2）=1．

所以S-S的取值范围为[0，1]．

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题型：单选题

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单选题

已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上一点，且在x轴上方，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，直线PF2的斜率为，则△PF1F2的面积为（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：椭圆16x2+25y2=1600化成标准形式为．

∴F1、F2是椭圆的左、右焦点，

∴F1（-6，0），F2（6，0），

设P（x，y）是椭圆上一点，则

消去y，得19x2-225x+650=0，

∴x1=5或x2=．

当x2=时，代入②得与③矛盾，舍去．

由x=5，得y=4．

∴△PF1F2的面积S==24．

故选B．

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题型：填空题

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填空题

经过抛物线y2=4x的焦点F且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点M的坐标为______．

正确答案

（3，2）

解析

解：∵抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），倾斜角为45°的直线AB的方程为y=x-1，

设点A（x1，y1）、B（x2，y2），

将y=x-1代入y2=4x得x2-6x+1=0，

则x1+x2=6，

故中点M的横坐标为3，将x=3代入y=x-1得y=2．

∴M（3，2）．

故答案为：（3，2）．

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题型：填空题

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填空题

问题：过点M（2，1）作一斜率为1的直线交抛物线y2=2px（p＞0）于不同的两点A，B，且点M为AB的中点，求p的值．请阅读某同学的问题解答过程：

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，两式相减，得（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2）．又，y1+y2=2，因此p=1．

并给出当点M的坐标改为（2，m）（m＞0）时，你认为正确的结论：______．

正确答案

p=m（0＜m＜4）

解析

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y12=2px1，y22=2px2，

两式相减，得（y1-y2）（y1+y2）=2p（x1-x2）．

又，y1+y2=2m

所以

所以p=m

因为消去x得

y2-2py+2pm-4p=0

即y2-2my+2m2-4m=0

△=4m2-4（2m2-4m）＞0

解得0＜m＜4

故答案为：p=m（0＜m＜4）

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题型：简答题

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简答题

已知动圆P过定点，且与直线l相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，一个焦点是F，点在椭圆N上．

（1）求动圆圆心P的轨迹M的方程和椭圆N的方程；

（2）已知与轨迹M在x=-4处的切线平行的直线与椭圆N交于B、C两点，试探求使△ABC面积等于的直线l是否存在？若存在，请求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）由题意，可得

∵点P到定点F（0，-）与P到直线y=的距离相等

∴点P的轨迹M是以F为焦点、直线y=为准线的抛物线

设抛物线方程为x2=-2py，可得=，得2p=4，

由此可得动圆圆心P的轨迹M的方程为抛物线x2=-4y

设椭圆N的方程为

根据椭圆的定义，可得2a=+=4

∴a=2，结合c=可得b2=a2-c2=2，可得椭圆N的方程为；

（2）假设存在满足条件的直线l，

∵P的轨迹M的方程为抛物线x2=-4y，

∴抛物线在x=-4处的切线的斜率k=，因此可设直线l方程为y=x+m

由消去y，化简得4x2+2mx+m2-4=0

∴△=（2m）2-16（m2-4）＞0，解之得m2＜8且m≠0

设B（x1，y1），C（x2，y2），可得x1+x2=-，x1x2=

由两点之间的距离公式，得|BC|=

又∵点A到直线l的距离d=，∴×•=

化简整理，得m4-8m2+18=0，此方程没有实数解．

因此可得：不存在与抛物线在x=-4处的切线平行的直线l，使△ABC面积等于．

解析

解：（1）由题意，可得

∵点P到定点F（0，-）与P到直线y=的距离相等

∴点P的轨迹M是以F为焦点、直线y=为准线的抛物线

设抛物线方程为x2=-2py，可得=，得2p=4，

由此可得动圆圆心P的轨迹M的方程为抛物线x2=-4y

设椭圆N的方程为

根据椭圆的定义，可得2a=+=4

∴a=2，结合c=可得b2=a2-c2=2，可得椭圆N的方程为；

（2）假设存在满足条件的直线l，

∵P的轨迹M的方程为抛物线x2=-4y，

∴抛物线在x=-4处的切线的斜率k=，因此可设直线l方程为y=x+m

由消去y，化简得4x2+2mx+m2-4=0

∴△=（2m）2-16（m2-4）＞0，解之得m2＜8且m≠0

设B（x1，y1），C（x2，y2），可得x1+x2=-，x1x2=

由两点之间的距离公式，得|BC|=

又∵点A到直线l的距离d=，∴×•=

化简整理，得m4-8m2+18=0，此方程没有实数解．

因此可得：不存在与抛物线在x=-4处的切线平行的直线l，使△ABC面积等于．

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题型：填空题

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填空题

已知点P为抛物线y2=2x上的动点，则点P到直线y=x+2的距离的最小值为______．

正确答案

解析

解：如图，

设与直线y=x+2平行的直线方程为y=x+m．

联立，得x2+（2m-2）x+m2=0．

由△=（2m-2）2-4m2=0，得m=．

所以与直线y=x+2平行且与抛物线y2=2x相切的直线方程为．

由两平行线间的距离公式得：d=．

所以点P到直线y=x+2的距离的最小值为．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线x2=2y，过点P（0，1）的直线与抛物线相交于A（x1，y1）B（x2，y2）两点，则y1+y2的最小值是______．

正确答案

2

解析

解：设过点P（0，1）的直线方程为：

y=kx+1，

联立方程组，

整理，得

x2-2kx-1=0，

∴△=4k2+4＞0，

∴x1+x2=2k，x1•x2=-1，

∵y1=kx1+1，y2=kx2+1

∴y1+y2=k（x1+x2）+2

=2k2+2，

∴当k=0时，y1+y2的最小值2．

故答案为：2．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴长为．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．

①若线段AB中点的横坐标为-，求斜率k的值；

②若点M（-，0），求证：为定值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，

由=②，2b=③．联立①②③，

解得a2=5，，

所以椭圆方程为=1．

（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，，

因为AB中点的横坐标为-，所以-=-，解得k=±，

（2）由（1）知，，

所以=（x1+，y1）（，y2）=（）（）+y1y2

=（）（）+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）++k2

=（1+k2）+（）（-）++k2=；

解析

解：（Ⅰ）因为（a＞b＞0）满足a2=b2+c2①，

由=②，2b=③．联立①②③，

解得a2=5，，

所以椭圆方程为=1．

（Ⅱ）（1）将y=k（x+1）代入=1中，得（1+3k2）x2+6k2x+3k2-5=0，

△=36k4-4（3k2+1）（3k2-5）=48k2+20＞0，，

因为AB中点的横坐标为-，所以-=-，解得k=±，

（2）由（1）知，，

所以=（x1+，y1）（，y2）=（）（）+y1y2

=（）（）+k2（x1+1）（x2+1）

=（1+k2）x1x2+（+k2）（x1+x2）++k2

=（1+k2）+（）（-）++k2=；

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题型：单选题

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单选题

设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：设P（x，y），则Q（-x，y），又设A（a，0），B（0，b），则a＞0，b＞0，

∴，

由可得a=x，b=3y，

∴x＞0，y＞0

又∵=（-a，b）=（-x，3y），

由=1

∴

故选：D

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