直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设过F1的直线l与椭圆C交于A、B两点，问在椭圆C上是否存在一点M，使四边形AMBF2为平行四边形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点．

∴，解得，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x0，y0），

设直线l的方程为x=my-1，

由得：（3m2+4）y2-6my-9=0，

△=36m2+36（3m2+4）＞0，

∴，

∴AB的中点为，

∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：

∴，

把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m4-24m2-80=0

解得，

∴存在符合条件的直线l的方程为：．

解析

解：（Ⅰ）∵椭圆的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），且经过点．

∴，解得，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）假设存在符合条件的点M（x0，y0），

设直线l的方程为x=my-1，

由得：（3m2+4）y2-6my-9=0，

△=36m2+36（3m2+4）＞0，

∴，

∴AB的中点为，

∵四边形AMBF2为平行四边形，∴AB与MF2的中点重合，即：

∴，

把点M坐标代入椭圆C的方程得：27m4-24m2-80=0

解得，

∴存在符合条件的直线l的方程为：．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．

（1）求椭圆的方程；

（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值．

正确答案

解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，

∴=，，

∴a=1，b=c=，

所以椭圆C的方程为x2+2y2=1；

（2）设B（m，n），C（-m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，

又1=m2+2n2≥2|m|•|n|，所以|m|•|n|≤，当且仅当|m|=|n|时取等号…8分

从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为．

解析

解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，

∴=，，

∴a=1，b=c=，

所以椭圆C的方程为x2+2y2=1；

（2）设B（m，n），C（-m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，

又1=m2+2n2≥2|m|•|n|，所以|m|•|n|≤，当且仅当|m|=|n|时取等号…8分

从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，两个焦点分别为F1和F2，椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12．圆C：x2+y2+2x-4y-20=0的圆心为点A．

（1）求椭圆G的方程；

（2）求△AF1F2面积；

（3）求经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程；

（4）椭圆G是否在圆C的内部，请说明理由．

正确答案

解：（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0），半焦距为c，

则，解得，∴b2=a2-c2=36-27=9

所求椭圆G的方程为：；

（2 ）点A的坐标为（-1，2），所以；

（3）由题意，圆C：x2+y2+2x-4y-20=0可化为：（x+1）2+（y-2）2=25，圆心坐标为（-1，2），半径为5，

所以经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程为x=-3，y=4；

（4）把点（6，0）代入圆C方程可知道，（6，0）在圆C外，

若k＜0，由（-6）2+02-12k-0-21=15-12k＞0，可知点（-6，0）在圆Ck外，

∴不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G．

解析

解：（1）设椭圆G的方程为：（a＞b＞0），半焦距为c，

则，解得，∴b2=a2-c2=36-27=9

所求椭圆G的方程为：；

（2 ）点A的坐标为（-1，2），所以；

（3）由题意，圆C：x2+y2+2x-4y-20=0可化为：（x+1）2+（y-2）2=25，圆心坐标为（-1，2），半径为5，

所以经过点（-3，4）且与圆C相切的直线方程为x=-3，y=4；

（4）把点（6，0）代入圆C方程可知道，（6，0）在圆C外，

若k＜0，由（-6）2+02-12k-0-21=15-12k＞0，可知点（-6，0）在圆Ck外，

∴不论k为何值，圆Ck都不能包围椭圆G．

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题型：填空题

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填空题

已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，且与有相同的焦点，则其标准方程为______．

正确答案

解析

解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=±2x，

则可设双曲线的方程为x2-=λ，λ≠0；

又由有的右焦点为（5，0），即焦点在x轴上且c=5，

则λ＞0；

则双曲线的方程可变形为 =1，

又由c=5，则5λ=25，解可得λ=5；

则此双曲线的标准方程是；

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆的左右两个焦点分别为F1、F2，点P在椭圆C上，且PF1⊥PF2，|PF1|=2，|PF2|=4．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y-4=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程；

（3）若以椭圆的长轴为直径作圆N，T为该圆N上异于长轴端点的任意点，再过原点O作直线TF2 的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线TQ与圆N的位置关系，并给出证明．

正确答案

解析

解：（1）设+=1（a，b＞0），因为点P在椭圆C上，

所以2a=|PF1|+|PF2|=6，

解得a=3，

在直角△PF1F2中，|F1F2|===2，

故椭圆的半焦距c=，

从而b2=a2-c2=9-5=4，

所以椭圆C的方程为+=1．

（2）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），

由圆的方程为（x+2）2+（y-1）2=9，所以圆心M的坐标为（-2，1），

从而可设直线l的方程为y=k（x+2）+1，代入椭圆C的方程得

（5+9k2）x2+18（2k2+k）x+36（k2+k-1）=0，

因为A，B关于点M对称．所以=-=-2，

解得k=，

所以直线l的方程为y=（x+2）+1，

即10x-9y+29=0．（经检验，符合题意）．

（3）直线TQ与圆N相切．证明如下：易得椭圆右焦点为F2（，0），右准线为x=．

设点T（x0，y0），则有x02+y02=9，又=，kOQ=-，

∴直线OQ的方程为y=-x，令x=，得y=-，

即Q（，-），

所以kTQ====-，

又kOT=，于是有kOT•kTQ=-1，

故OT⊥TQ，∴直线TQ与圆N相切．

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题型：填空题

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填空题

以（1，2）为法向量的直线过椭圆的右焦点，则该直线方程为______．

正确答案

x+2y-4=0

解析

解：由题意，椭圆的右焦点为（4，0）

设直线l上任一M（x，y），又点P（4，0），

则 =（x-4，y），

又∵直线l的法向量，

∴有 ⊥，即（x-4）-2y=0，

即x+2y-4=0，

故答案为：x+2y-4=0

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题型：填空题

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填空题

已知方程=1（m是常数）表示曲线C，给出下列命题：

①曲线C不可能为圆；

②曲线C不可能为抛物线；

③若曲线C为双曲线，则m＜1或m＞4；

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜m＜．

其中真命题的编号为______．

正确答案

②③④

解析

解：①由4-m=m-1，可得m=2.5，曲线能为圆，故不正确；

②因为方程中没有一次项，故曲线C不可能为抛物线，正确；

③若曲线C为双曲线，（4-m）（m-1）＜0，则m＜1或m＞4，正确；

④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4-m＞m-1＞0，所以1＜m＜，正确．

故答案为：②③④．

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题型：简答题

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简答题

椭圆=1（a＞b＞1）的焦距为2c，直线l过点（b，0）和（0，c）

（1）若b=2，c=3，求此椭圆的准线方程；

（2）若点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和为sa，求椭圆的离心率e的取值范围．

正确答案

解：（1）∵b=2，c=3，

∴a2=b2+c2=13，

∴椭圆的准线方程为x=±=±．

（2）直线l的方程为，即cx+by-bc=0，

由点到直线的距离公式，且b＞1，得点（1，0）到直线l的距离．

同理得点点（-1，0）到直线l的距离．

∴s=d1+d2==，

由，得，即，

∴25c2（a2-c2）≥4a4，

∴25e4-25e2+4≤0，

∴，

∵0＜e＜1，

∴．

解析

解：（1）∵b=2，c=3，

∴a2=b2+c2=13，

∴椭圆的准线方程为x=±=±．

（2）直线l的方程为，即cx+by-bc=0，

由点到直线的距离公式，且b＞1，得点（1，0）到直线l的距离．

同理得点点（-1，0）到直线l的距离．

∴s=d1+d2==，

由，得，即，

∴25c2（a2-c2）≥4a4，

∴25e4-25e2+4≤0，

∴，

∵0＜e＜1，

∴．

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题型：单选题

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单选题

直线y-kx-1=0（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，则b的取值范围是（　　）

A（0，1）

B（0，5）

C[1，5）∪（5，+∞）

D（1，+∞）

正确答案

C

解析

解：直线y-kx-1=0（k∈R）即y=kx+1，恒过定点（0，1），

由于直线y-kx-1=0（k∈R）与椭圆+=1恒有公共点，

只要定点（0，1）在椭圆上或椭圆内，

即有（b＞0，b≠5）

故b≥1且b≠5．

即b的取值范围是[1，5）∪（5，+∞）．

故选C．

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题型：简答题

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简答题

如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi，交于点．

（1）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；

（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积之比为4：1，求直线l的方程．

正确答案

（I）证明：由题意，过且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），

∴直线OBi的方程为．

设Pi（x，y），由，解得，即x2=10y．

∴点都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．

（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，

联立消去y得到x2-10kx-100=0，

此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，

设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=-100，

∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=-4x2．

联立，解得．

∴直线l的方程为．即为3x+2y-20=0或3x-2y+20=0．

解析

（I）证明：由题意，过且与x轴垂直的直线方程为x=i，Bi的坐标为（10，i），

∴直线OBi的方程为．

设Pi（x，y），由，解得，即x2=10y．

∴点都在同一条抛物线上，抛物线E的方程为x2=10y．

（II）由题意，设直线l的方程为y=kx+10，

联立消去y得到x2-10kx-100=0，

此时△＞0，直线与抛物线恒有两个不同的交点，

设为M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=10k，x1x2=-100，

∵S△OCM=4S△OCN，∴|x1|=4|x2|．∴x1=-4x2．

联立，解得．

∴直线l的方程为．即为3x+2y-20=0或3x-2y+20=0．

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