热门试卷

（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，

由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，

可得：a+c=3，a-c=1，

∴a=2，c=1

∴b2=a2-c2=3

∴椭圆的标准方程为；

（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）

联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

则

又

因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴kADkBD=-1，即

∴y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，∴

∴7m2+16mk+4k2=0

解得：，且均满足3+4k2-m2＞0

当m1=-2k时，l的方程y=k（x-2），直线过点（2，0），与已知矛盾；

当时，l的方程为，直线过定点

所以，直线l过定点，定点坐标为

解：假设这样的点P存在，由题意可设点P坐标为P（m，m-2），又设所作的两条切线为PA，PB，其中A，B为切点，且点A，B的坐标分别为：，．

因为函数的导函数为y‘=x，

所以由两切线垂直可得ab=-1，

且：即，．

故a，b是方程x2-2mx+2（m-2）=0的两实数根，

从而有：ab=2（m-2）=-1．解得：．

所以，存在这样的点P，其坐标为．

解：（I）设直线AB的方程为

由消去x得

所以y1y2=-p2=-4

因为p＞0，所以p=2

所以此抛物线的方程为y2=4x

（II）则，所以y0=-2p

所以a+c===

由（*）得y1y2=-p2，

所以

（III）设直线AM、FM、BM的倾斜角分别为θ1，θ2，θ3，

则∠AMF=θ1-θ2，

∠BMF=θ3+θ2，∠MFO=θ2，

，

所以（tan（θ1+θ3）===，

所以θ1+θ3＜

所以|∠AMF-∠BMF|＞∠MFO

解：（1）由题意知，2a=4，

又a2=b2+c2，解得：，

∴椭圆方程为：．

（2）设直线AB的方程为y=k（x-1），

将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

则，

∴．

解得k=±2，

∴直线AB方程为2x-y-2=0或2x+y-2=0．

解：（1）由题意，设椭圆方程为

则，得a=2，b=1

∴椭圆方程为．（4分）

（2）当直线MN⊥x轴时，直线MN的方程为，代入椭圆方程得，∴

设直线MN与x轴交于点P，且A（-2，0）；得

∴，得

∴若∠MAN的大小为定值，则必为．（6分）

下面判断当直线MN的斜率存在且不为0时∠MAN的大小是否为定值

设直线MN的方程为：，

联立直线MN和曲线C的方程可得：得：，（8分）

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，（10分）

则

∴

∴∠MAN的大小为定值．（12分）

解：（1）由题意知，e=，b=1，a2-c2=1，…（4分）

解得a=2，

所以椭圆C的标准方程为．…（6分）

（2）设直线l1的方程为y=kx+1，

由方程组，得（4k2+1）x2+8kx=0，…（8分）

解得，x2=0，所以，yM=，…（10分）

同理可得，，…（12分）

==，

==，…（14分）

所以M，N，P三点共线，故直线MN恒过定点P（0，-）．…（16分）

解：（1）根据题意易知，所以，

设P（x，y），则

=x2+y2-3

=

=．

故-2．

（2）显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，M（x1，y1），B（x2，y2），

联立，消去y，整理得：，

∴，

由，

得：或k，

又0°＜∠MON＜90°⇔cos∠MON＞0⇔＞0，

∴x1x2+y1y2＞0，

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4

=

=．

∵，

即k2＜4，∴-2＜k＜2．

故由①、②得，或．

（3）由题设，|BO|=1，|AO|=2．

设y1=kx1，y2=kx2，由x2＞0，y2=-y1＞0，

故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=x2+2y2=

=≤=2，

当x2=2y2时，上式取等号．所以S的最大值为2．

解：（I）依题意知直线A1N1的方程为：y=（x+2）…①；

直线A2N2的方程为：y=-（x-2）…②

设Q（x，y）是直线A1N1与A2N2交点，①、②相乘，得y2=-（x2-4）

由mn=3整理得：

∵N1、N2不与原点重合，可得点A1（-2，0），A2（2，0）不在轨迹M上，

∴轨迹M的方程为（x≠±2）．

（II）由题意，可得直线l的斜率存在且不为零

由消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0．

设P（x1，y1），Q（x2，y2），可得x1+x2=且x1x2=，

∵α+β=π，=，=，

∴+=+=0，化简得2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0．

即2k+（m-k）•-2m=0，整理得m=-4k

因此，直线l：y=kx+m即y=k（x-4），经过定点（4，0）．

综上所述，直线l过定点，该点的坐标为（4，0）．

解：（1）由已知，设抛物线方程为x2=2py，则

代入P（2，2），可得p=1，

∴抛物线C1的方程为x2=2y；

（2）设圆的圆心C2（a，b），则圆的半径为，

∴圆被x轴截得的弦长为|MN|=2=2=2，

∵a2=2b，

∴|MN|=2；

（3）由（2）知，不妨设M（a-1，0），N（a+1，0），则

m==，n==，

∴==2．

a=0时，=2；

a≠0时，=2≤2，当且仅当a=±时，取得最大值2．