直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆G：=1（a＞b＞0）的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的弦长为1．如图，A，B是椭圆的左右顶点，M是椭圆上位于x轴上方的动点，直线AM，BM与直线l：x=4分别交于C，D两点．

（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；

（Ⅱ）若|CD|=4，求点M的坐标．

正确答案

解：（Ⅰ）∵G：=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，

∵过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，

∴=1，

解得a2=4，b2=1，

∴∴椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线AM的方程为y=k（x+2）（k＞0）．

由得C（4，6k）；

y=k（x+2）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，

设M（x0，y0），则（-2）x0=，

∴x0=，

∴y0=，

即M（，），

∵B（2，0），

∴直线BM的方程为y=-（x-2），

x=4时，y=-，∴D（4，-）

∴|CD|=|6k+|=4

∵k＞0，∴k=或，

从而M（0，1）或M（，）．

解析

解：（Ⅰ）∵G：=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，

∵过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，

∴=1，

解得a2=4，b2=1，

∴∴椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线AM的方程为y=k（x+2）（k＞0）．

由得C（4，6k）；

y=k（x+2）代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16k2x+16k2-4=0，

设M（x0，y0），则（-2）x0=，

∴x0=，

∴y0=，

即M（，），

∵B（2，0），

∴直线BM的方程为y=-（x-2），

x=4时，y=-，∴D（4，-）

∴|CD|=|6k+|=4

∵k＞0，∴k=或，

从而M（0，1）或M（，）．

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题型：简答题

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简答题

如图，曲线C1：x2=-4y，曲线C2：x2+（y-m）2=1（m＞0），过曲线C1上的一点P（2，-1）作曲线C1的切线l，且l与C2恰好相切，切点为Q．

（Ⅰ）求曲线C2与直线l的方程；

（Ⅱ）若点N为C2上任意一异于Q的动点，求△NPQ面积的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得：直线l的斜率显然存在，

设直线l的方程为y=k（x-2）-1，

由，消去y得x2+4kx-8k-4=0，

∴△=（4k）2-4（-8k-4）=0，解得：k=-1，

∴直线l的方程是：x+y-1=0，

又∵直线l与圆c2相切，

∴d==1，解得：m=+1，或m=1-（舍去），

∴c2的方程是x2+=1；

（Ⅱ）设Q（x，y），则有，解得：x=-，y=1+，

∴|PQ|==2+1，

设d为点N到直线PQ的距离，则S△NPQ=d，

显然d的最大值为圆的直径，即点N与点Q位于直径的两端，

∴△NPQ面积的最大值为：S△NPQ===2+1．

解析

解：（Ⅰ）由题意得：直线l的斜率显然存在，

设直线l的方程为y=k（x-2）-1，

由，消去y得x2+4kx-8k-4=0，

∴△=（4k）2-4（-8k-4）=0，解得：k=-1，

∴直线l的方程是：x+y-1=0，

又∵直线l与圆c2相切，

∴d==1，解得：m=+1，或m=1-（舍去），

∴c2的方程是x2+=1；

（Ⅱ）设Q（x，y），则有，解得：x=-，y=1+，

∴|PQ|==2+1，

设d为点N到直线PQ的距离，则S△NPQ=d，

显然d的最大值为圆的直径，即点N与点Q位于直径的两端，

∴△NPQ面积的最大值为：S△NPQ===2+1．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆E1：+=1（a＞b＞0）椭圆E2的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的倍（λ＞0，λ≠1）．

（Ⅰ）求椭圆E2的方程；并证明椭圆E1，E2的离心率相同；

（Ⅱ）当λ=2时，设M，N是椭圆E1上的两个点，OM，ON的斜率分别是kOM，kON，且kOM•kON=-（O是坐标原点），若OMPN是平行四边形，证明：点P在椭圆E2上．

正确答案

（Ⅰ）解：设椭圆E1，E2的离心率分别为e1，e2，则

∵长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的倍，

∴椭圆E2的方程为．

又长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的倍，

∴焦距长也为椭圆E1焦距长的倍，

∴椭圆E1，E2的离心率相同；

（Ⅱ）证明：设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），则

∵kOM•kON=-，

∴tanα•tanβ=-，

∴tanα•tanβ=-1，

∴cos（α-β）=0．

设P（x，y），则∵OMPN是平行四边形，

∴x=a（cosα+cosβ），y=b（sinα+sinβ），

∴λ=2时，=[2+2cos（α-β）]=1，

∴点P在椭圆E2上．

解析

（Ⅰ）解：设椭圆E1，E2的离心率分别为e1，e2，则

∵长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的倍，

∴椭圆E2的方程为．

又长轴长和短轴长分别是椭圆E1长轴长和短轴长的倍，

∴焦距长也为椭圆E1焦距长的倍，

∴椭圆E1，E2的离心率相同；

（Ⅱ）证明：设M（acosα，bsinα），N（acosβ，bsinβ），则

∵kOM•kON=-，

∴tanα•tanβ=-，

∴tanα•tanβ=-1，

∴cos（α-β）=0．

设P（x，y），则∵OMPN是平行四边形，

∴x=a（cosα+cosβ），y=b（sinα+sinβ），

∴λ=2时，=[2+2cos（α-β）]=1，

∴点P在椭圆E2上．

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题型：简答题

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简答题

设椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点M（1，1），离心率e=，O为坐标原点．

（I）求椭圆C的方程．

（Ⅱ）若直线l是圆O：x2+y2=1的任意一条切线，且直线l与椭圆C相交于A，B两点，求证：•为定值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意可得，解得，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，

则圆心O到直线l的距离，

∴1+k2=m2．

将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m2-4=0．

设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

则，．

∴=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）

=

=0，

②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得．

综合上述可得，为定值0．

解析

解：（Ⅰ）由题意可得，解得，

∴椭圆C的方程为．

（Ⅱ）①当圆O的切线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+m，

则圆心O到直线l的距离，

∴1+k2=m2．

将直线l的方程和椭圆C的方程联立，得到（1+3k2）x2+6kmx+3m2-4=0．

设直线l与椭圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

则，．

∴=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）

=

=0，

②当圆的切线l的斜率不存在时，验证得．

综合上述可得，为定值0．

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题型：简答题

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简答题

斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．

正确答案

解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1

∴直线AB的方程为y=x-1

联立方程可得x2-6x+1=0

∴xA+xB=6，xA•xB=1

（法一）：由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=xA+1+xB+1=xA+xB+2=8

（法二）：由弦长公式可得AB==•

==8

解析

解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1

∴直线AB的方程为y=x-1

联立方程可得x2-6x+1=0

∴xA+xB=6，xA•xB=1

（法一）：由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=xA+1+xB+1=xA+xB+2=8

（法二）：由弦长公式可得AB==•

==8

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题型：简答题

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简答题

如图：中心为原点的双曲线的一条渐近线为y=x，焦点A、B在x轴上，焦距|AB|为．

（1）求此双曲线方程；

（2）过P（2，0）的直线L交双曲线于点M、N，．求证：对于任意直线L，数量积是定值，并求出该定值．

（3）在（2）的条件下，求|QM|2+|QN|2-|MN|2的值．

正确答案

解：（1）∵渐近线为y=±x，∴是等轴双曲线x2-y2=a2，离心率e=．

又2c=2，∴c2=2a2，a=1，方程为x2-y2=1．

（2）设MN的方程为x=my+2，代入x2-y2=1，得（m2-1）y2+4my+3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=-，y1y2=．

=（m2+1）y1y2+m（2-b）（y1+y2）+4-4b+b2为定值，可得（b2-1）m2-（b2-4b+1）=C（定值）…（*）

∴（b2-1-C）m2-（b2-4b+1-C）=0而与m的取值无关，

∴b2-1-C=b2-4b+1-C=0，∴C=-，b=．

（3）|QM|2+|QN|2-|MN|2=（x1-1）2+（y1）2+（x2-1）2+（y2）2-（x1-x2）2-（y1-y2）2=2m（y1+y2）=，

由（2）知 C=-，b=，代入（*）式，得m2=2，

∴|QM|2+|QN|2-|MN|2==-16．

解析

解：（1）∵渐近线为y=±x，∴是等轴双曲线x2-y2=a2，离心率e=．

又2c=2，∴c2=2a2，a=1，方程为x2-y2=1．

（2）设MN的方程为x=my+2，代入x2-y2=1，得（m2-1）y2+4my+3=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=-，y1y2=．

=（m2+1）y1y2+m（2-b）（y1+y2）+4-4b+b2为定值，可得（b2-1）m2-（b2-4b+1）=C（定值）…（*）

∴（b2-1-C）m2-（b2-4b+1-C）=0而与m的取值无关，

∴b2-1-C=b2-4b+1-C=0，∴C=-，b=．

（3）|QM|2+|QN|2-|MN|2=（x1-1）2+（y1）2+（x2-1）2+（y2）2-（x1-x2）2-（y1-y2）2=2m（y1+y2）=，

由（2）知 C=-，b=，代入（*）式，得m2=2，

∴|QM|2+|QN|2-|MN|2==-16．

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题型：单选题

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单选题

已知抛物线y2=4x的准线与x轴的交点为A，焦点为F，l是过点A且倾斜角为的直线，则点F到直线l的距离等于（　　）

A1

B

C2

D

正确答案

B

解析

解：由题意，A（-1，0），F（1，0），则

过点A且倾斜角为的直线l的方程为y=（x+1），即x-y+=0，

∴点F到直线l的距离==，

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

已知抛物线C：y2=12x，点M（-1，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．

（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标等于2，求直线l的斜率；

（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．

正确答案

（Ⅰ）解：设过点M（-1，0）的直线方程为y=k（x+1），

由得k2x2+（2k2-12）x+k2=0．…（2分）

因为k2≠0，且△=（2k2-12）2-4k4=144-48k2＞0，

所以，．…（3分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=1．…（5分）

因为线段AB中点的横坐标等于2，所以，…（6分）

解得，符合题意．…（7分）

（Ⅱ）证明：依题意A‘（x1，-y1），直线，…（8分）

又，，

所以，…（9分）=…（10分）

因为，且y1，y2同号，所以，…（11分）

所以，…（12分）

所以，直线A'B恒过定点（1，0）．…（13分）

解析

（Ⅰ）解：设过点M（-1，0）的直线方程为y=k（x+1），

由得k2x2+（2k2-12）x+k2=0．…（2分）

因为k2≠0，且△=（2k2-12）2-4k4=144-48k2＞0，

所以，．…（3分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），则，x1x2=1．…（5分）

因为线段AB中点的横坐标等于2，所以，…（6分）

解得，符合题意．…（7分）

（Ⅱ）证明：依题意A‘（x1，-y1），直线，…（8分）

又，，

所以，…（9分）=…（10分）

因为，且y1，y2同号，所以，…（11分）

所以，…（12分）

所以，直线A'B恒过定点（1，0）．…（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：y=2x-4被抛物线C：y2=2px（p＞0）截得的弦长．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若抛物线C的焦点为F，求三角形ABF的面积．

正确答案

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）

∵

而

即

∴p=2

故抛物线C的方程为：y2=4x．

（2）由（1）知F（1，0），

∴点F到AB的距离，

∴=3．

解析

解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）

∵

而

即

∴p=2

故抛物线C的方程为：y2=4x．

（2）由（1）知F（1，0），

∴点F到AB的距离，

∴=3．

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题型：单选题

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单选题

过抛物线y2=4x的焦点所作直线中，被抛物线截得弦长为8的直线有（　　）

A1条

B2条

C3条

D不确定

正确答案

B

解析

解：设过焦点F（1，0）所作直线与抛物线相交于两点A，B．

①当AB⊥x轴时，|AB|=2p=4，不满足题意，应舍去．

②当直线AB的斜率存在时，设直线AB为：y=k（x-1），

联立，化为k2x2-（2k2+4）x+k2=0．

∴x1+x2=．

∴|AB|=x1+x2+p．

∴，化为k2=1，解得k=±1．

综上可知：过焦点且被抛物线截得弦长为8的直线有且只有两条：y=±（x-1）．

故选：B．

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