热门试卷

解：（1）设A （x1，y1），B （x2，y2）切线PA：x1x+y1y=b2，PB：x2x+y2y=b2，

∵P点在切线PA、PB上，∴x1x0+y1y0=b2，x2x0+y2y0=b2．

∴直线AB的方程为x0x+y0y=b2．

（2）在x0x+y0y=b2中，2b=8⇒b=4，b2=16，

分别令y=0，得，x=0 得

代入，得：①

又P（x0，y0）在椭圆上：②代入①⇒a2=25∴所求椭圆为：（xy≠0）

（3）假设存在点P（x0，y0）满足PA⊥PB，连OA、OB，

由|PA|=|PB|，知四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA|∴x02+y02=2b2①又P在椭圆上∴a2x02+b2y02=a2b2②

由①、②知：∵a＞b＞0∴a2＞b2，

所以 当a2≥2b2＞0，即时，椭圆C上存在点P1满足条件，

当a2＜2b2，即时，椭圆C上不存在满足条件的点P．

解（Ⅰ）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，由抛物线的定义知|AM|=，

∴，则，

∴k=±tanα=．

（Ⅱ）存在k，k的取值范围为，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB．

事实上，假设存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，

设点Q（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），

联立，得ky2-2py+p2k=0．

则，得：-1＜k＜1且k≠0．

．

又Q、A、B三点在抛物线上，所以

则．

同理．

由QA⊥QB得：，即．

∴，即．

△=4p2-20k2p2≥0，解得，又-1＜k＜1且k≠0．

所以k的取值范围为．

解：（Ⅰ）设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则，，

两式相减得，∴，∴kl×2=4，解得kl=2．

∴直线l的方程为y-1=，化为2x-y-4=0．

（Ⅱ）证明：①直线l的参数方程为，代入抛物线方程得，

化为，由参数的几何意义可得PA•PB=-．

②由直线m的斜率为-2且过点P，可得参数方程为，代入抛物线方程得，

化为，由参数的几何意义可得PA1•PB1=．

因此PA•PB=PA1•PB1．

（Ⅲ）设点P1（u，v），直线l1、l2的倾斜角分别为α、β，则k1=tanα，k2=tanβ，且．

则直线l1的参数方程为，代入抛物线方程得（v+tsinα）2=4（u+tcosα），

化为t2sin2α+（2vsinα-4cosα）t+v2-4u=0，

∵△＞0，∴t1t2==P1A1•P1B1

同理=P1A2•P1B2

∵P1A1•P1B1=P1A2•P1B2

∴sin2α=sin2β，∴sinα=sinβ，而α≠β，∴α=π-β．

∴k1+k2的值=tanα+tanβ=-tanβ+tanβ=0．

解：（1）因为椭圆（a＞b＞0）过点，所以，b2=2，

又因为椭圆C1的离心率，所以，解得a2=3．

所以椭圆C1的方程是；

（2）因为线段PF2的垂直平分线交l2于点M，

所以|MP|=|MF2|，即动点M到定直线l1：x=-1的距离等于它到定点F2（1，0）的距离，

所以动点M的轨迹C2是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，

所以点M的轨迹C2的方程为y2=4x；

（3）设R（x1，y1），假设存在直线m：x=t满足题意，则圆心，

过O1作直线x=t的垂线，垂足为E，设直线m与圆O1的一个交点为G．

可得：，

即

=

=，

当t=3时，|EG|2=3，此时直线m被以RQ为直径的圆O1所截得的弦长恒为定值．

因此存在直线m：x=3满足题意．

解：（I）设M（x，y），由已知得P（4λ，0），Q（4，2-2λ），

则直线EP的方程为y=-2，直线GQ的方程为y=-+2，

消去λ即得M的轨迹Γ的方程为．

（II）由，得|NS||NT|=|ON|2，又ON⊥ST，则OS⊥OT，

设直线ST：y=kx+m（m≠±2），代入得（1+4k2）x2+8kmx+4m2-16=0，

设S（x1，y1），T（x2，y2），

则，．

由OS⊥OT得x1x2+y1y2=0，即km（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0，

则5m2=16（1+k2）①，

又O到直线ST的距离为r=②，

联立①②解得r=∈（0，2）．

经检验当直线ST的斜率不存在时也满足．

故r的值为．

解：（I）设椭圆C的标准方程为，抛物线y2=4x的焦点为F2（1，0），∴c=1．

∵△ABF1的周长为8，∴4a=8，解得a=2．

∴b2=a2-c2=3．

∴椭圆C的标准方程为．

（II）由题意可设直线l的方程为：y=k（x-1），则M（0，-k），设A（x1，y1），B（x2，y2）．

联立，化为（3+4k2）x2-8k2x+4（k2-3）=0，

则x1+x2=，x1x2=，

由=λ，可得（x1，y1+k）=λ（1-x1，-y1），

∴，

由=μ，同理可得μ=，

∴λ+μ====-．

∴λ+μ=．

（III）①当直线l⊥x轴时，l的方程为：x=1．由，解得A，B．

∴|AF2|=|BF2|=，

∴|AF2|+|BF2|=3，|AF2|•|BF2|=，

可得：|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．此时t=．

②当直线l与x轴不垂直时，设l的方程为：y=k（x-1），

不妨设x2＞1＞x1，则|AF2|==，|BF2|==，

x2-x1===，

∴=+

=

=

=×=．

即得：|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．

故存在实数t=，使得|AF2|+|BF2|=|AF2|•|BF2|．

（本小题满分10分）

解：（1）∵椭圆C短轴的一个端点为（0，1），

∴椭圆的焦点在x轴上，b=1，…（2分）

∵，，∴得a=3，…（3分）

所以其标准方程是：．…（4分）

（2）联立方程组，消去y得，10x2+36x+27=0．…（5分）

△=362-4×10×27＞0

设A（x1，y1），B（x2，y2），，，…（7分）

所以|AB|=•=．…（10分）