热门试卷

解：（Ⅰ）∵|RF1|+|RF2|=，

∴曲线C为以原点为中心，F1、F2为焦点的椭圆，

设其半长轴为a，半短轴为b，半焦距为c，则2a=2，2c=，

∴a=2，c=，b2=a2-c2=1．

∴曲线C的方程为；

（Ⅱ）设M（x0，y0），A（x1，y1）则B（-x1，-y1），

∵点M，A在椭圆上，

∴，，

相减得，

又，

∴=；

（Ⅲ）设直线l的方程为，代入椭圆方程，

得，计算并判断得△＞0，

设P（x3，y3），Q（x4，y4），得，

∴=

=．

F1到直线l的距离d=，

设，则t≥1，

∴

==．

当t2=3，即m2=2，时，△F1PQ的面积最大．

∴原命题是假命题，△F1PQ的面积取得最大值时，直线l的方程为：

和．

解：（Ⅰ）由抛物线的定义知，圆M经过焦点F（，0），Q（-，p），点M的纵坐标为p，

∵M∈C，∴M（，p），|MF|=2p，

由题意，M是线段EF垂直平分线上的点，

∴，

∴p=2，

∴抛物线C：y2=4x，圆M的方程：；

（Ⅱ）由，可得y=-2k，∴D（-1，-2）．

直线n：y=k（x-1）代入抛物线方程，整理可得ky2-4y-4k=0（k＞0），

∴，

∵|FA|=|FD|，∴，

∴k=，

∴A（3，2），B（，），直线n：y=（x-1），Q（-1，2），

则|AB|=，Q到直线n的距离为d=2，

∴△ABQ的面积S=|AB|d=．

证明：（1）由题意，，则，b2=a2-c2=2c2，

故椭圆方程为，

即2x2+3y2-6c2=0，其中，F1（-c，0），

∴直线AF1的斜率为，此时直线AF1的方程为，

联立得2x2+3cx=0，解得x1=0（舍）和，即B，

由对称性知．

直线BO的方程为，

线段AC的中点坐标为，

AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．

（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），点Q（x，y），

则，．

设=λ，则，，

求得，，，，

∴，，

∴2mx+3ny====6c2，

由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c2=0上．

解：（I）设F′是椭圆的右焦点，

由椭圆的性质和定义可得：|FA|+|FA′|=|FA|+|F′A|=2a=4．

解得a=2，

∵左焦点为F（-，0），c=，

∴b2=a2-c2=2．

∴椭圆C的方程为=1．

（II）设A（x1，y1）（x1＞0，y1＞0），△AFA′面积S==x1y1．

∵≥2×=，

∴．

当△AFA′面积取得最大时，=，解得，y1=1．

由F（-，0），A，可得直线AB的方程为：，化为=0，

设B（x2，y2），联立，解得，，

可得B．

∴|AB|==．

解：（1）设椭圆的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），

∵点F2在线段PF1的中垂线上，∴|F1F2|=|PF2|，因此，

解得：c=1，又∵，∴，=1．

故所求的椭圆C方程为：．

（2）依题意，化为：（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．

又=，=，

∵倾斜角满足α+β=π，可得：，

∴=0，化简得：2kx1x2+（m-k）（x1+x2）-2m=0．

∴，整理得：m=-2k．

∴直线l1的方程为y=k（x-2），因此直线l1经过定点，该定点坐标为（2，0）．

（3）由题意知l2的斜率存在且不为零．

设l2方程为x=my+2（m≠0）①，将①代入，整理得（m2+2）y2+4my+2=0，

由△＞0得m2＞2．

设E（x3，y3），F（x4，y4），则②

由已知，，则

由此可知，，代入②得，，

消去y3得

解得，，满足m2＞2即．

故所求直线l2的方程为．