直线与圆锥曲线_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

直线y=x-1被椭圆+y2=1截得的弦长为______．

正确答案

解析

解：由题意，

，

消去y整理得，

x（5x-8）=0；

设直线y=x-1被椭圆+y2=1的交点为（m，m-1）（n，n-1）；

故|m-n|=；

故直线y=x-1被椭圆+y2=1截得的弦长为；

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

抛物线x2=4y准线上任一点R作抛物线的两条切线，切点分别为M、N，若O是坐标原点，则=______．

正确答案

-3

解析

解：，取R（0，-1），

设M（x1，y1），N（x2，y2），

则，

∴x1=±2，，

∴x1=-2，x2=2，得，

∴；

故答案为：-3

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆的长轴长为4．

（1）若以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线y=x+2相切，求椭圆焦点坐标；

（2）若点P是椭圆C上的任意一点，过原点的直线L与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当时，求椭圆的方程．

正确答案

解：（1）由…（2分）

又因为2a=4，

所以a=2，又a2=4，b2=2…（4分）

所以c2=a2-b2=2，

∴…（6分）

（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称

不妨设：M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y）

因为M，N，P在椭圆上，

所以它们满足椭圆方程，即有

两式相减得：．…（8分）

由题意它们的斜率存在，则…（10分）

故所求椭圆的方程为…（12分）

解析

解：（1）由…（2分）

又因为2a=4，

所以a=2，又a2=4，b2=2…（4分）

所以c2=a2-b2=2，

∴…（6分）

（2）由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N交于坐标原点对称

不妨设：M（x0，y0），N（-x0，-y0），P（x，y）

因为M，N，P在椭圆上，

所以它们满足椭圆方程，即有

两式相减得：．…（8分）

由题意它们的斜率存在，则…（10分）

故所求椭圆的方程为…（12分）

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题型：简答题

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简答题

已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=-1上的射影为点N，且满足（+）•=0

（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）若直线y=x与曲线C交与点M（异于O点），O为坐标原点．过点M作倾斜角互补的两条直线，分别与曲线C交于A、B两点（异于M）．求证：直线AB的斜率为定值．

正确答案

（Ⅰ）解：设点P（x，y），则N（-1，y），又F（1，0），

=（-1-x，0），=（2，-y），

由（+）•=0，得（-x，-）•（2，-y）=0，

-2x+=0

即有点P的轨迹C的方程为：y2=4x；

（Ⅱ）证明：y=x与 y2=4x联立方程得：M（4，4）

设直线MA的方程为：y-4=k（x-4），

联立方程y2=4x消去y得：k2x2-（8k2-8k+4）x+16k2-32k+16=0，

，同理，

故直线AB的斜率为===-．

解析

（Ⅰ）解：设点P（x，y），则N（-1，y），又F（1，0），

=（-1-x，0），=（2，-y），

由（+）•=0，得（-x，-）•（2，-y）=0，

-2x+=0

即有点P的轨迹C的方程为：y2=4x；

（Ⅱ）证明：y=x与 y2=4x联立方程得：M（4，4）

设直线MA的方程为：y-4=k（x-4），

联立方程y2=4x消去y得：k2x2-（8k2-8k+4）x+16k2-32k+16=0，

，同理，

故直线AB的斜率为===-．

1

题型：填空题

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填空题

直线3x-2y+6=0与曲线=1有______个交点．

正确答案

2

解析

解：由=1，得

，

其图象如图，

双曲线的渐近线方程为3x±2y=0．

直线3x-2y+6=0与3x-2y=0平行．

由图象可知，直线3x-2y+6=0与曲线=1有2个交点．

故答案为：2．

1

题型：填空题

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填空题

直线y=x+3与双曲线的交点个数是______．

正确答案

1

解析

解：∵直线y=x+3与双曲线的渐近线y=平行，

因此直线y=x+3与双曲线的左支有且仅有一个交点．

故答案为：1．

1

题型：简答题

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简答题

点P是在平面直角坐标系中不在x轴上的一个动点，满足：过点P可作抛物线x2=y的两条切线，切点分别为A，B．

（Ⅰ）设点A（x1，y1），求证：切线PA的方程为y=2x1x-x12；

（Ⅱ）若直线AB交y轴于R，OP⊥AB于Q点，求证：R是定点并求的最小值．

正确答案

证明：（Ⅰ）设以A（x1，x12）为切点的切线方程为y-x12=k（x-x1），

联立抛物线方程，可得x2-kx+kx1-x12=0，

由△=k2-4kx1+4x12=（k-2x1）2=0，

得k=2x1，所以切线PA：y=2x1x-x12；

（Ⅱ）设B（x2，x22），

由（Ⅰ）可得切线PB：y=2x2x-x22，可得P（，x1x2），

设AB：y=kx+m与y=x2联立得x2-kx-m=0，

即P（，-m），由题意可得k•kOP=k•=-2m=-1，

解得m=，即R（0，），由可得Q（-，），

|PQ|=，|QR|==，

所以==|k|+≥2，

当且仅当k=±时，的最小值为2．

解析

证明：（Ⅰ）设以A（x1，x12）为切点的切线方程为y-x12=k（x-x1），

联立抛物线方程，可得x2-kx+kx1-x12=0，

由△=k2-4kx1+4x12=（k-2x1）2=0，

得k=2x1，所以切线PA：y=2x1x-x12；

（Ⅱ）设B（x2，x22），

由（Ⅰ）可得切线PB：y=2x2x-x22，可得P（，x1x2），

设AB：y=kx+m与y=x2联立得x2-kx-m=0，

即P（，-m），由题意可得k•kOP=k•=-2m=-1，

解得m=，即R（0，），由可得Q（-，），

|PQ|=，|QR|==，

所以==|k|+≥2，

当且仅当k=±时，的最小值为2．

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题型：填空题

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填空题

已知点P（x，y）满足=5，则的取值范围是______．

正确答案

[，）

解析

解：由两点间的距离公式表示两点P（x，y）与F1（1，2）之间的距离，同理表示两点P（x，y）与F2（4，6）之间的距离．

由条件点P满足=5，如图所示．

可知：而．

∴点P（x，y）是到两定点F1（1，2），F2（4，6）的距离的差等于5一条射线．

而表示过两点P（x，y），（-4，2）的斜率．

令k=，则=＞==．

∴的取值范围是[，）．

故答案为[，）．

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题型：填空题

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填空题

若双曲线C：x2-y2=1的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且，则直线l的斜率为______．

正确答案

±3

解析

解：双曲线的右顶点A（1，0），设l的方程为x=my+1，代入双曲线方程，可得（m2-1）y2+2my+1=0

设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则y1+y2=①，②

∵，

∴y1=-2y2③，

由①②③可得m=

∴直线l的斜率为±3

故答案为：±3．

1

题型：简答题

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简答题

已知定点Q（-2，5），抛物线C：x2=2y上的动点P到焦点的距离为d，求d+PQ的最小值，并求取得最小值时的P的坐标．

正确答案

解：由抛物线C：x2=2y得准线l：y=-．

如图所示，过点P作PM⊥准线l交于点M，由抛物线可得|PM|=|PF|．

当三点Q、P、M在同一条直线上时，|PF|+|PQ|取得最小值为5+．

由x=-2代入抛物线方程得（-2）2=2y，解得y=2．

∴p（-2，2）．

故当P取（-2，2）时，d+|PQ|=|QM|取得最小值．

解析

解：由抛物线C：x2=2y得准线l：y=-．

如图所示，过点P作PM⊥准线l交于点M，由抛物线可得|PM|=|PF|．

当三点Q、P、M在同一条直线上时，|PF|+|PQ|取得最小值为5+．

由x=-2代入抛物线方程得（-2）2=2y，解得y=2．

∴p（-2，2）．

故当P取（-2，2）时，d+|PQ|=|QM|取得最小值．

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