直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知圆x2+y2+mx-=0与抛物线x2=4y的准线相切，则m的值等于______．

正确答案

±

解析

解：抛物线x2=4y的准线为y=-1，

圆的圆心O（-，0），半径r=，

∵圆与抛物线x2=4y的准线相切，

∴圆心O（-，0）到准线为y=-1的距离d=r，

∴，

解得m=，

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

已知下列命题命题：①椭圆中，若a，b，c成等比数列，则其离心率；②双曲线x2-y2=a2（a＞0）的离心率且两条渐近线互相垂直；③在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；④若实数x，y∈[-1，1]，则满足x2+y2≥1的概率为．其中正确命题的序号是______．

正确答案

①②③

解析

解：①已知a，b，c成等比数列，∴ac=b2，椭圆的离心率，故正确；

②双曲线x2-y2=a2（a＞0），则双曲线的渐近线方程为y=±x

∴两条渐近线互相垂直，

∵a2=b2，

∴c==a

∴e==，故正确；

③如四面体B1ABD；故正确；

④概率应为1-，故错．

故答案是①②③．

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题型：填空题

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填空题

已知抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）

∵抛物线y2=8x的焦点与双曲线的一个焦点重合，

∴a2+1=4，∴a=

∴e==

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

已知一个椭圆中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个焦点F1，F2组成的三角形的周长为4+2，且∠F1BF2=．

（1）求这个椭圆的方程；

（2）斜率为1的直线交椭圆C于A、B两点，求|AB|的最大值．

正确答案

解：（1）设长轴长为2a，焦距为2c，

则在三角形F2OB中，由∠F2BO=，

得c=a，则△F1BF2的周长为2a+2c=2a+a=4，

则a=2，c=，b=1，

故所求的椭圆方程为：+y2=1；

（2）设直线l：y=x+t，代入椭圆方程，消去y，得，x2+2tx+t2-1=0，

由题意得，△=（2t）2-5（t2-1）＞0，即t2＜5，x1+x2=-，x1x2=，

弦长|AB|==

=4×．

当且仅当t=0时，取最大值为．

解析

解：（1）设长轴长为2a，焦距为2c，

则在三角形F2OB中，由∠F2BO=，

得c=a，则△F1BF2的周长为2a+2c=2a+a=4，

则a=2，c=，b=1，

故所求的椭圆方程为：+y2=1；

（2）设直线l：y=x+t，代入椭圆方程，消去y，得，x2+2tx+t2-1=0，

由题意得，△=（2t）2-5（t2-1）＞0，即t2＜5，x1+x2=-，x1x2=，

弦长|AB|==

=4×．

当且仅当t=0时，取最大值为．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•大连校级月考）已知椭圆的中心是坐标原点O，它的短轴长为2，一个焦点F的坐标为（c，0）（c＞0），一个定点A的坐标为，且过点A的直线与椭圆相交于P，Q两点：

（1）求椭圆的方程和离心率；

（2）如果OP⊥OQ，求直线PQ的方程．

正确答案

解：（1）由题意知，b=，F（c，0），A，

，

由得，解得：c=2．

∴a2=b2+c2=6，

∴椭圆的方程为，

离心率为；

（2）A（3，0），

设直线PQ的方程为y=k（x-3），

联立，得（1+3k2）x2-18k2x+27k2-6=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则，

=

由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，

即，

解得：k=，符合△＞0，

∴直线PQ的方程为．

解析

解：（1）由题意知，b=，F（c，0），A，

，

由得，解得：c=2．

∴a2=b2+c2=6，

∴椭圆的方程为，

离心率为；

（2）A（3，0），

设直线PQ的方程为y=k（x-3），

联立，得（1+3k2）x2-18k2x+27k2-6=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），

则，

=

由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，

即，

解得：k=，符合△＞0，

∴直线PQ的方程为．

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题型：简答题

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简答题

曲线-=1与直线y=2x+m有两个交点，求m的取值范围．

正确答案

解：作出曲线对应的图象如图：由图象可知直线y=2x+m

经过点A（-2，0）时，直线和曲线有一个交点，

此时-4+m=0，即m=4，此时要使两曲线有两个交点，则m＞4，

直线y=2x+m经过点B（2，0）时，直线和曲线有一个交点，

当直线经过点B时，4+m=0，即m=-4，

此时要使两曲线有两个交点，则m＜-4，

综上m的取值范围是m＞4或m＜-4．

解析

解：作出曲线对应的图象如图：由图象可知直线y=2x+m

经过点A（-2，0）时，直线和曲线有一个交点，

此时-4+m=0，即m=4，此时要使两曲线有两个交点，则m＞4，

直线y=2x+m经过点B（2，0）时，直线和曲线有一个交点，

当直线经过点B时，4+m=0，即m=-4，

此时要使两曲线有两个交点，则m＜-4，

综上m的取值范围是m＞4或m＜-4．

1

题型：填空题

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填空题

过点P（5，4）作与双曲线有且只有一个公共点的直线共有______条．

正确答案

3

解析

解：把点P（5，4）代入双曲线中，成立，∴点P（5，4）在双曲线右支上，

∴可过p点作双曲线的一条切线，和两条平行于渐近线的直线，这三条直线与双曲线均只有一个公共点，

故答案为3

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题型：填空题

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填空题

如果双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，那么双曲线其方程是______．

正确答案

解析

解：椭圆的焦点坐标为（0，±3）

∵双曲线与椭圆有相同焦点，

∴双曲线的焦点坐标为（0，±3）

∵双曲线经过点，

∴2a=||=4

∴a=2

∴b2=9-4=5

∴双曲线的方程是

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）经过点P（4，），且双曲线C的渐近线与圆x2+（y-3）2=4相切．

（1）求双曲线C的方程；

（2）设F（c，0）是双曲线C的右焦点，M（x0，y0）是双曲线C的右支上的任意一点，试判断以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．

正确答案

解：（1）∵双曲线C：=1经过点P（4，），所以①．

∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x2+（y-3）2=4相切，

所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，

即，整理得5a2=4b2②．

联立①与②，解得，

∴双曲线C的方程为；

（2）由（1）得，，所以双曲线C的右焦点为F（3，0）．

设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，

所以|MF′|-|MF|=4，即=4，

所以即=+4，

因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r1=2；

以MF为直径的圆的圆心为，半径为，

所以两圆圆心之间的距离为．

因为=，

∴以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切．

解析

解：（1）∵双曲线C：=1经过点P（4，），所以①．

∵双曲线C的渐近线bx±ay=0与圆x2+（y-3）2=4相切，

所以圆心（0，3）到直线bx±ay=0的距离等于2，

即，整理得5a2=4b2②．

联立①与②，解得，

∴双曲线C的方程为；

（2）由（1）得，，所以双曲线C的右焦点为F（3，0）．

设双曲线C的左焦点为F′（-3，0），因为点M在双曲线C的右支上，

所以|MF′|-|MF|=4，即=4，

所以即=+4，

因为以双曲线C的实轴为直径的圆的圆心为（0，0），半径为r1=2；

以MF为直径的圆的圆心为，半径为，

所以两圆圆心之间的距离为．

因为=，

∴以MF为直径的圆与以双曲线实轴为直径的圆外切．

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题型：单选题

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单选题

过椭圆内的一点P（2，-1）的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在直线方程（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：设过点P的弦与椭圆交于A1（x1，y1），A2（x2，y2）两点，则x1+x2=4，y1+y2=-2，

∵，

∴两式相减并代入x1+x2=4，y1+y2=-2，可得（x1-x2）-（y1-y2）=0，

∴kA1A2==．

∴弦所在直线方程为y+1=（x-2），

即y=．

故选B．

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