直线与圆锥曲线_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

已知曲线和直线ax+by+1=0（a，b为非零实数），在同一坐标系中，它们的图形可能是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：A选项中，直线的斜率大于0，故系数a，b的符号相反，此时曲线应是双曲线，故不对；

B选项中直线的斜率小于0，故系数a，b的符号相同且都为负，此时曲线不存在，故不对；

C选项中，直线斜率为正，故系数a，b的符号相反，且a正，b负，此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线，图形符合结论，可选；

D选项中不正确，由C选项的判断可知D不正确．

故选：C

1

题型：单选题

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单选题

将二次函数y=ax2+bx+c的图象C关于x轴对称，并将图象C及其对称图象以相反方向分别水平移动5个单位，设所得图象的函数解析式分别为y=f（x）与y=g（x），那么下列关于y=f（x）+g（x）的描述中，正确的是（　　）

A与x轴相切的抛物线

B与x轴相交的抛物线

C一条水平直线

D一条不是水平的直线

正确答案

D

解析

解：将二次函数y=ax2+bx+c的图象C关于x轴对称，可得

y=-ax2-bx-c，

由将图象C及其对称图象以相反方向分别水平移动5个单位，

可设为向左和向右平移5个单位，

则有f（x）=a（x+5）2+b（x+5）+c，

g（x）=-a（x-5）2-b（x-5）-c，

则y=f（x）+g（x）=20ax+10b，

则图象为不是一条水平的直线．

故选D．

1

题型：简答题

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简答题

椭圆C：（a＞0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0）

（1）求椭圆C的方程；

（2）若斜率为的动直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1）、N（x2，y2），且y1y2≥m恒成立，求实数m的最大值．

正确答案

解：（1）∵椭圆C：（a＜0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0），∴a2=42=16，

∴椭圆C的方程为；

（2）设动直线l的方程为：y=．

联立，化为5y2-2ty+t2-8=0．

∵直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1）、N（x2，y2），

∴△=4t2-20（t2-8）＞0，化为t2＜10．

∴y1y2=，

∵y1y2≥m恒成立，∴，

∵t2＜10，∴．当且仅当t=0时取等号．

∴．

∴实数m的最大值是．

解析

解：（1）∵椭圆C：（a＜0）的焦点在x轴上，右顶点A为（4，0），∴a2=42=16，

∴椭圆C的方程为；

（2）设动直线l的方程为：y=．

联立，化为5y2-2ty+t2-8=0．

∵直线l与椭圆C交于不同的两点M（x1，y1）、N（x2，y2），

∴△=4t2-20（t2-8）＞0，化为t2＜10．

∴y1y2=，

∵y1y2≥m恒成立，∴，

∵t2＜10，∴．当且仅当t=0时取等号．

∴．

∴实数m的最大值是．

1

题型：填空题

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填空题

曲线（θ为参数）上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为______．

正确答案

解析

解：直线（t为参数）转化为普通方程：x=，

曲线（θ为参数）上的点到直线x=的距离为：

d==，

当cos（）=-1时，d取得最大值：=

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

已知F1（-1，0），F2（1，0）为平面内的两个定点，动点P满足，记点P的轨迹为曲线Γ．

（Ⅰ）求曲线Γ的方程；

（Ⅱ）设点O为坐标原点，点A，B，C是曲线Γ上的不同三点，且．

（ⅰ）试探究：直线AB与OC的斜率之积是否为定值？证明你的结论；

（ⅱ）当直线AB过点F1时，求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之和为定值，

所以点P的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆．…（2分）

又，c=1，所以b=1，

故所求方程为．…（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．

由，得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．…（5分）

（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），

代入x2+2y2=2并整理得，（1+2k2）x2+4knx+2n2-2=0，

依题意，△＞0，则，，

从而可得点C的坐标为，．

因为，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）

（ⅱ）若AB⊥x轴时，，由，

得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意．

因此直线AB的斜率存在．…（9分）

由（ⅰ）可知，当直线AB过点F1时，有n=k，点C的坐标为．

代入x2+2y2=2得，，即4k2=1+2k2，

所以． …（11分）

（1）当时，由（ⅰ）知，，从而．

故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高，所求等腰三角形的面积．

（2）当时，又由（ⅰ）知，，从而，

同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．

综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．…（13分）

解析

解：（Ⅰ）由条件可知，点P到两定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之和为定值，

所以点P的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆．…（2分）

又，c=1，所以b=1，

故所求方程为．…（4分）

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）．

由，得x1+x2+x3=0，y1+y2+y3=0．…（5分）

（ⅰ）可设直线AB的方程为y=kx+n（k≠0），

代入x2+2y2=2并整理得，（1+2k2）x2+4knx+2n2-2=0，

依题意，△＞0，则，，

从而可得点C的坐标为，．

因为，所以直线AB与OC的斜率之积为定值．…（8分）

（ⅱ）若AB⊥x轴时，，由，

得点C（2，0），所以点C不在椭圆Γ上，不合题意．

因此直线AB的斜率存在．…（9分）

由（ⅰ）可知，当直线AB过点F1时，有n=k，点C的坐标为．

代入x2+2y2=2得，，即4k2=1+2k2，

所以． …（11分）

（1）当时，由（ⅰ）知，，从而．

故AB、OC及x轴所围成三角形为等腰三角形，其底边长为1，且底边上的高，所求等腰三角形的面积．

（2）当时，又由（ⅰ）知，，从而，

同理可求直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．

综合（1）（2），直线AB、OC与x轴所围成的三角形的面积为．…（13分）

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），经过F与B（0，b）的直线与圆相切．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F的直线l交椭圆于M、N两点，求的最值．

正确答案

解：（1）经过F与B（0，b）的直线方程为x+=1．

∵经过F与B（0，b）的直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离d=，

∴b=，

∵c=1，

∴=2，

∴椭圆C的方程为；

（2）可设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消y并整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

△=（-8k2）2-4（4k2+3）（4k2-12）＞0恒成立．

=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（1+k2）[x1x2-（x1+x2）+1]

=（1+k2）（-+1）=，

令1+k2=t（t≥1），则==，

∵t≥1，∴-4＜≤-3，

∴-3≤＜-

即的最小值为-3．

解析

解：（1）经过F与B（0，b）的直线方程为x+=1．

∵经过F与B（0，b）的直线与圆相切，

∴圆心到直线的距离d=，

∴b=，

∵c=1，

∴=2，

∴椭圆C的方程为；

（2）可设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，消y并整理得（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0．

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，

△=（-8k2）2-4（4k2+3）（4k2-12）＞0恒成立．

=（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=（x1-1）（x2-1）+y1y2=（1+k2）[x1x2-（x1+x2）+1]

=（1+k2）（-+1）=，

令1+k2=t（t≥1），则==，

∵t≥1，∴-4＜≤-3，

∴-3≤＜-

即的最小值为-3．

1

题型：填空题

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填空题

（2015秋•淄博校级期末）过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则△POQ的面积为______．

正确答案

2

解析

解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则S=|OF|•|y1-y2|．

过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾斜角为的直线为x-y-1=0，

即x=1+y，代入y2=4x得：

y2=4（1+y），即y2-4y-4=0，∴y1+y2=4，y1y2=-4，

∴|y1-y2|===4 ，

∴S=|OF|•|y1-y2|=×4 =2 ．

故答案为：2

1

题型：简答题

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简答题

如图．直线l：y=kx+1与椭圆C1：交于A，C两点，A．C在x轴两侧，B，

D是圆C2：x2+y2=16上的两点．且A与B．C与D的横坐标相同．纵坐标同号．

（I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算||AB|-|CD||的取值范围；

（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由．

正确答案

（I）证明：设A（x1，y1），B（x1，y2），

根据题意得：⇒，

∵y1，y2同号，∴y2=2y1，

设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，

∴|AB|=|y1|，|CD|=|y3|，

由⇒（4k2+1）x2+8kx-12=0，△＞0恒成立，

则，，

∵A、C在x轴的两侧，∴y1y3＜0，

∴（kx1+1）（kx3+1）=k2x1x3+k（x1+x3）+1=＜0，

∴，

∴||AB|-|CD||=||y1|-|y3||=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|=∈（0，）；

（II）解：∵直线BD的斜率=2k，

∴直线BD的方程为y=2k（x-x1）+2y1=2kx-2（kx1-y1），

∵y1=kx1+1，∴直线BD的方程为y=2kx+2，

∴直线BD过定点（0，2）．

解析

（I）证明：设A（x1，y1），B（x1，y2），

根据题意得：⇒，

∵y1，y2同号，∴y2=2y1，

设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，

∴|AB|=|y1|，|CD|=|y3|，

由⇒（4k2+1）x2+8kx-12=0，△＞0恒成立，

则，，

∵A、C在x轴的两侧，∴y1y3＜0，

∴（kx1+1）（kx3+1）=k2x1x3+k（x1+x3）+1=＜0，

∴，

∴||AB|-|CD||=||y1|-|y3||=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|=∈（0，）；

（II）解：∵直线BD的斜率=2k，

∴直线BD的方程为y=2k（x-x1）+2y1=2kx-2（kx1-y1），

∵y1=kx1+1，∴直线BD的方程为y=2kx+2，

∴直线BD过定点（0，2）．

1

题型：单选题

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单选题

已知抛物线C：x2=y，过M（0，1）作一条直线l与抛物线交于A、B两点，O为原点，若△OAB为等腰三角形，这样的直线l有几条（　　）

A0

B1

C3

D5

正确答案

B

解析

解：设直线l的方程为：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）．

联立，化为x2-kx-1=0．

△＞0．

∴x1+x2=k，x1x2=-1．

∵=x1x2+y1y2==1-1=0，

∴．

∴|OA|≠|AB|，|OB|≠|AB|．

当|OA|=|OB|时，x1+x2=k=0，此时只有一条直线l：y=1．

综上可得：满足△OAB为等腰三角形，这样的直线l有且仅有1条．

故选：B．

1

题型：简答题

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简答题

已知圆O：x2+y2=4，若焦点在x轴上的椭圆过点p（0，1），且其长轴长等于圆O的直径．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点P作两条互相垂直的直线l1与l2，l1与圆O交于A、B两点，l2交椭圆于另一点C．

（Ⅰ）设直线l1的斜率为k，求弦AB长；

（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

正确答案

解：（1）由题意，a=2，b=1，∴椭圆的方程为=1；

（2）（Ⅰ）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．

又圆O：x2+y2=4的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．

∴|AB|=2=2．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．

∵l2⊥l1，∴直线l2的方程为x+ky+k=0，与椭圆方程联立联立，

消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得x0=-，

∴|PC|=．

∴三角形ABC的面积S△=|AB|•|PD|==≤=，

当且仅当k=±时取等号，

故所求直线l1的方程为y=-1，此时△ABC面积的最大值为．

解析

解：（1）由题意，a=2，b=1，∴椭圆的方程为=1；

（2）（Ⅰ）由题意可知：直线l1的斜率存在，设为k，则直线l1的方程为y=kx-1．

又圆O：x2+y2=4的圆心O（0，0）到直线l1的距离d=．

∴|AB|=2=2．

（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0）．

∵l2⊥l1，∴直线l2的方程为x+ky+k=0，与椭圆方程联立联立，

消去y得到（4+k2）x2+8kx=0，解得x0=-，

∴|PC|=．

∴三角形ABC的面积S△=|AB|•|PD|==≤=，

当且仅当k=±时取等号，

故所求直线l1的方程为y=-1，此时△ABC面积的最大值为．

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