热门试卷

解：（1）设P（x0，y0）为抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点，

作PH⊥y轴，垂足为H，连接PF，

∵|PF|=|PH|+1，

∴，

∴p=2，

∴所求抛物线C的方程为y2=4x．

（2）直线RQ必过定点．由（1）得焦点坐标为F（1，0），

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN：y=k（x-1）（k＞0），

与y2=4x联立，得

ky2-4y-4k=0，

∴，y1y2=-4，

由|MF|=2|NF|，

则y1=-2y2，∴，

因此所求的直线方程为．

（3）∵A（-1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），

PQ：y=k（x-1），与y2=4x联立得ky2-4y+4k=0，

∴，

∵点P关于x轴的对称点是R，则R（x1，-y1），

∴直线RQ的直线为，

即有，

∴（y2-y1）（y+y1）=4x-4x1，

∴（y2-y1）y+y2y1-y12=4x-4x1，

∵（y2-y1）y=4（x-1），

∴直线RQ必过定点F（1，0）．

（1）解：设椭圆C1的方程为，∴，所以a=2b．

由椭圆几何性质知，当P为椭圆的短袖端点时，△PF1F2的面积最大，故，∴a=2，b=1，

故所求椭圆方程为；

（2）解：由（1）知A（0，1），F1=（），设M（x，y）则

由题意得，∴

整理得M的轨迹C2的方程为；

（3）证明：l的斜率存在时，设l方程为y=kx+m，代入椭圆方程并整理得（1+4k2）x2+8mkx+4m2-4=0．

△=（8km）2-16（m2-1）（1+4k2）＞0，

设Q（x1，y1），R（x2，y2），∴

所以，

则=

又因为l与C2相切，所以，∴5m2-4k2-4=0

所以，

当l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程解得或，此时

综上所述，

解：（Ⅰ）解：依题得 且b=1，∴a2=4，…（4分）

所以椭圆的标准方程为…（5分）

（Ⅱ）依题得，P（x0，y0），Q（-x0，-y0），N（x0，0），…（6分）

又因为…（9分）

又∵…（12分）

即|x0•y0|≤1当且仅当，时等号成立∴△PQN的面积最大值为1…（14分）

解：（1）由题设条件，设c=，a=2k，则b=k，

∴椭圆方程为，

把点（，）代入，得k2=1，

∴椭圆方程为．

（2）①由，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2-1）=0，

∴．

∵直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，

∴，

∴2kx1x2=m（x1+x2），由此解得，验证△＞0成立．

②，令，

得，

∴S△OPQ∈（0，1）．

解：（1）这样的等腰直角三角形存在．

因为直线y=x+1与直线y=-x+1垂直，且关于y轴对称，所以直线y=x+1与直线y=-x+1是一个等腰直角三角形的两腰所在的直线方程．

（2）设A，B两点分别居于y轴的左，右两侧，设CA的斜率为k，则k＞0，

CA所在的直线方程为y=kx+1，代入椭圆的方程并整理得（a2k2+1）x2+2a2kx=0，

∴x=0或，

∴A的横坐标为，

∴，

同理可得，

所以由|CA|=|CB|得，

∴（k-1）[k2-（a2-1）k+1]=0…（1），

当时，（1）的解是k=1，k2-（a2-1）k+1=0无实数解；

当时，（1）的解是k=1，k2-（a2-1）k+1=0的解也是k=1；

当时，（1）的解除k=1外，方程k2-（a2-1）k+1=0有两个不相等的正根，且都不等于1，故（1）有3个正根．

∴符合题意的等腰直角三角形一定存在，最多有3个．

解：（1）由已知（2分）

即x2=3+3y2，所以P的轨迹方程为（5分）

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点E坐标为（x0，y0）．

，消去y得：26x2+18mx+3m2+3=0

由韦达定理得：，则，（8分）

则AB垂直平分线方程为，

又点D（-1，0）在AB的垂直平分线上，代入方程得（11分）

（注：也可由DE的斜率为-，得，解得m=）

由△＞0，得m2＞26

所以时，直线l：y=3x+m，m≠0与双曲线C相交，符合题意，

所以．（12分）

解：（Ⅰ）由题意知，．

因为|OA|=t，所以a2+2a=t2．

由于t＞0，故有．　（1）

由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，

直线BC的方程为．

又因点A在直线BC上，故有，

将（1）代入上式，得，

解得．

（Ⅱ）因为，所以直线CD的斜率为．

所以直线CD的斜率为定值．

解：（1）解方程组得P点的坐标为，

∴，

∵PF2⊥QF2，

∴，

∴

将代入上式解得y=2a，

∴；

∵Q点的坐标为（4，4），∴，

∴a=2，c=1，b2=a2-c2=3，

∴；

（2）∵，P点的坐标为，

∴，

∴，

即

将PQ的方程代入椭圆C的方程得，

∴（b2+c2）x2+2a2cx+a4-a2b2=0①

∵a2=b2+c2

∴方程①可化为a2x2+2a2cx+a2c2=0

解得x=-c

∴直线PQ与椭圆C只有一个公共点．

解：（1）由抛物线x2=4y，可得焦点（0，1）．

∴c=1，

由椭圆E：=1（a＞b＞0）的上下顶点分别为A（0，2），B（0，-2），

可得a=2，∴b2=3．

∴椭圆E的方程为：．

设直线l的方程为y=kx+1，联立，化为x2-4kx-4=0．

设C（x1，y1），D（x2，y2）．则x1x2=-4．

由x2=4y，可得y′=，

∴====-1．

∴l1⊥l2．

（2）设M（x3，y3），N（x4，y4）．直线MN的方程为：y=2x+1．

联立，化为16x2+12x-9=0．

∴x3+x4=-，x3x4=-．

∴|MN|===．

点A到直线l的距离d==．

∴△AMN面积S===．