热门试卷

解：（1）设圆心M（，y0），则圆半径r2=（-2）2+y02，

圆心M到y轴的距离为d=，

∴弦长|PQ|=2

=2=2=4 （定值）；

（2）设直线AB的方程为x=my-1，消x得y2-4my+4=0

△=16m2-16=16（m2-1）＞0，∴m2＞1，

∵y1+y2=4m，

∴AB的中点为N（2m2-1，2m），

∴AB中垂线方程为y-2m=-m（x-2m2+1），令y=0，∴x=2m2+1，

即E坐标为（2m2+1，0），

∴|EN|==2，

又|AB|=•4，当△ABE为正三角形时，

|EN|=|AB|，∴2=••4，

∴m2=，满足△＞0，∴存在点E（ ，0）．

解：（Ⅰ）由题意椭圆的离心率．

∴，∴a=2c，

∴b2=a2-c2=3c2

∴椭圆方程为，

又点在椭圆上，∴，解得c2=1．

∴椭圆的方程为．

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，

由△=64m2k2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，化为3+4k2-m2＞0．

∴．

∴．

∵，

∴kAD•kBD=-1，又椭圆的右顶点D（2，0），

∴，y1y2+x1x2-2（x1+x2）+4=0，

∴，

化为7m2+16mk+4k2=0，解得，且满足3+4k2-m2＞0．

当m=-2k时，l：y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；

当时，，直线过定点．

综上可知，直线l过定点，定点坐标为．

解：（1）由得5x2+2mx+m2-1=0，

当直线与椭圆有公共点时，△=4m2-4×5（m2-1）≥0，即-4m2+5≥0，

解得-，

所以实数m的取值范围是-；

（2）设所截弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），

由（1）知，，，

所以弦长|AB|===•=，

当m=0时|AB|最大，此时所求直线方程为y=x．

解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（，0），故可设椭圆的方程为，

解方程组解得C（，2），D（，-2），

由抛物线与椭圆的对称性，可得：=，所以|F2S|=，所以S（，）．

因此，解得b=1，故而a=2，

所以椭圆E的方程为．

（Ⅱ）由题意知直线l的斜率存在，设其为k．

①当k=0时，所以t=0；

②当k≠0时，则直线l的方程为y=k（x-3），

代入椭圆方程，消去y并整理得：（1+4k2）x2-24k2x+36k2-4=0，

由△＞0，得0＜k2＜，

设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），则x1+x2=，x1x2=．

因为+=t，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x0，y0），

所以x0=（x1+x2）=，y0=．

因为点P在椭圆上，所以[]2+[]2=4，

解得t2=9-，

由于0＜k2＜，故而0＜t2＜4，所以t∈（-2，0）∪（0，2），

综合①②可知，t∈（-2，2）．