直线与圆锥曲线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

椭圆的左、右焦点分别是F1，F2，过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．

（1）求证：；

（2）若直线l的斜率为1，且点（0，-1）在椭圆C上，求椭圆C的方程．

正确答案

（1）证明：由题设，∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，

由椭圆定义|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，…（4分）

所以，．…（2分）

（2）解：由点（0，-1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为，…（2分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（-c，0），l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a2+1）y2-2cy-1=0，（*） …（2分）

则=，

于是有，…（4分）

解得，故椭圆C的方程为． …（2分）

解析

（1）证明：由题设，∵|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，∴2|AB|=|AF2|+|BF2|，

由椭圆定义|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，…（4分）

所以，．…（2分）

（2）解：由点（0，-1）在椭圆C上，可设椭圆C的方程为，…（2分）

设A（x1，y1），B（x2，y2），F1（-c，0），l：x=y-c，代入椭圆C的方程，整理得（a2+1）y2-2cy-1=0，（*） …（2分）

则=，

于是有，…（4分）

解得，故椭圆C的方程为． …（2分）

1

题型：简答题

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简答题

已知向量=（2，0），O是坐标原点，动点 M 满足：|+|+|-|=6．

（1）求点 M 的轨迹 C 的方程；

（2）是否存在直线 l 过 D（0，2）与轨迹 C 交于 P、Q 两点，且以 PQ 为直径的圆过原点，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由．

正确答案

解：（1）设 B（-2，0）…（1分）

则|+|+|-|=|+|+|-|=||+||=6

∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆

由c=2，2a=6⇒a=3⇒b=1 …（5分）

∴M 的轨迹 C的方程为 +y2=1 …（6分）

（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）

由得x2+9 （kx+2）2=9，

即（1+9k2） x2+36kx+27=0 …（8分）

∴△=（36k）2-4×27 （1+9k2）＞0

即 9k2-3＞0，∴k＜-或k＞（*）…（9分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∴x1+x2=-，x1x2= …（10分）

∵以 PQ 为直径的圆过原点，

∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0

∴（1+k2） x1 x2+2k （x1+x2）+4=0

即 -+4=0

解得k=±满足（*）

∴满足条件的直线 l 存在，

且直线 l 的方程为：x-3y+6=0或 x+3y-6=0 …（12分）

解析

解：（1）设 B（-2，0）…（1分）

则|+|+|-|=|+|+|-|=||+||=6

∴M 的轨迹为以 A、B 为焦点，长轴长为 6 的椭圆

由c=2，2a=6⇒a=3⇒b=1 …（5分）

∴M 的轨迹 C的方程为 +y2=1 …（6分）

（2）设直线 l 的方程为 y=kx+2（k≠0且k存在），…（7分）

由得x2+9 （kx+2）2=9，

即（1+9k2） x2+36kx+27=0 …（8分）

∴△=（36k）2-4×27 （1+9k2）＞0

即 9k2-3＞0，∴k＜-或k＞（*）…（9分）

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∴x1+x2=-，x1x2= …（10分）

∵以 PQ 为直径的圆过原点，

∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0

∴（1+k2） x1 x2+2k （x1+x2）+4=0

即 -+4=0

解得k=±满足（*）

∴满足条件的直线 l 存在，

且直线 l 的方程为：x-3y+6=0或 x+3y-6=0 …（12分）

1

题型：简答题

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简答题

已知圆F1：（x+1）2+y2=8，点F2（1，0），点Q在圆F1上运动，QF2的垂直平分线交QF1于点P．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）设M、N分别是曲线C上的两个不同点，且点M在第一象限，点N在第三象限，若，O为坐标原点，求直线MN的斜率；

（3）过点的动直线l交曲线C于A、B两点，求证：以AB为直径的圆恒过定点T（0，1）．

正确答案

解：（1）如图所示，∵|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2＞|F1F2|=2，

∴动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（a＞b＞0），a=，c=1，b2=1．

∴方程C为=1．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（-1，0）．∵，

∴x1+2x2=-2，y1+2y2=0．

∴x1=-2-2x2，y1=-2y2，代入椭圆方程可得=1，又，

联立解得，∴．

∴kMN==．

（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点．设直线AB的方程为y=kx-，A（x1，y1），B（x2，y2）．

则=（x1，y1-t）•（x2，y2-t）=x1x2+（y1-t）（y2-t）

=x1x2+-t+t2=（1+k2）x1x2-（k+kt）（x1+x2）（x1+x2）+++t2=0，

联立，化为（1+2k2）x2-kx-=0，△＞0恒成立．

∴x1+x2=，x1x2=-．

代入上式可得：--+++t2=0，化为（18t2-18）k2+（9t2+6t-15）=0，

∴，解得t=1．满足△＞0．

∴在y轴上存在定点T（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个点T．

解析

解：（1）如图所示，∵|PF1|+|PF2|=|QF1|=R=2＞|F1F2|=2，

∴动点P的轨迹为椭圆，设标准方程为（a＞b＞0），a=，c=1，b2=1．

∴方程C为=1．

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），F1（-1，0）．∵，

∴x1+2x2=-2，y1+2y2=0．

∴x1=-2-2x2，y1=-2y2，代入椭圆方程可得=1，又，

联立解得，∴．

∴kMN==．

（3）假设在y轴上存在定点T（0，t），使以AB为直径的圆恒过这个点．设直线AB的方程为y=kx-，A（x1，y1），B（x2，y2）．

则=（x1，y1-t）•（x2，y2-t）=x1x2+（y1-t）（y2-t）

=x1x2+-t+t2=（1+k2）x1x2-（k+kt）（x1+x2）（x1+x2）+++t2=0，

联立，化为（1+2k2）x2-kx-=0，△＞0恒成立．

∴x1+x2=，x1x2=-．

代入上式可得：--+++t2=0，化为（18t2-18）k2+（9t2+6t-15）=0，

∴，解得t=1．满足△＞0．

∴在y轴上存在定点T（0，1），使以AB为直径的圆恒过这个点T．

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题型：简答题

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简答题

已知中心在坐标原点，焦点在x轴的椭圆C．它的离心率为且曲线C过点（0，）．

（1）求椭圆C的方程．

（2）过点D（1，0）作一条直线与曲线C交于A，B两点．过A，B作直线x=4的垂线，垂足依次为M，N．求证：直线AN与BM交于定点．

正确答案

（1）解：设椭圆方程为=1（a＞b＞0），

由已知得，解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：设过点D（1，0）的直线为y=k（x-1），

联立，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

∵过点D（1，0）作一条直线与曲线C交于A，B两点，

∴△=（-8k2）2-4（3+4k2）（4k2-12）＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2）．

则，x1x2=，

过A，B作直线x=4的垂线，垂足依次为M，N．

则M（4，y1），N（4，y2），

∴直线AN：，令y=0，化为x===．

直线BM：，令y=0，化为x==．

∵2x1x2+8-5（x1+x2）=+8-=0，

∴=．

因此直线AN与BM交于定点P．

当AB⊥轴时，可得P．

即直线AN与BM交于定点P．

解析

（1）解：设椭圆方程为=1（a＞b＞0），

由已知得，解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为．

（2）证明：设过点D（1，0）的直线为y=k（x-1），

联立，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，

∵过点D（1，0）作一条直线与曲线C交于A，B两点，

∴△=（-8k2）2-4（3+4k2）（4k2-12）＞0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2）．

则，x1x2=，

过A，B作直线x=4的垂线，垂足依次为M，N．

则M（4，y1），N（4，y2），

∴直线AN：，令y=0，化为x===．

直线BM：，令y=0，化为x==．

∵2x1x2+8-5（x1+x2）=+8-=0，

∴=．

因此直线AN与BM交于定点P．

当AB⊥轴时，可得P．

即直线AN与BM交于定点P．

1

题型：简答题

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简答题

已知椭圆的右准线l1：x=2与x轴相交于点D，右焦点F到上顶点的距离为，点C（m，0）在线段OF上．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，使得？若存在，求出l的斜率；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）．

∵，

∴c=1，

∴b=1，

∴椭圆的方程．

（2）由（1）知F（1，0），

假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），

代入，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

设A（x1，y1）B（x2，y2），，，

∴，

∵点C（m，0）在线段OF上，∴0＜m＜1，

∴=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）

=（，），

∵，

而AB的方向向量为（1，k），

∴，

∴，∴1+=，

∴==，∴，

∵0＜m＜1，∴k=．

故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，

使得，l的斜率k=．

解析

解：（1）．

∵，

∴c=1，

∴b=1，

∴椭圆的方程．

（2）由（1）知F（1，0），

假设存在直线l，设其方程为：y=k（x-1），

代入，得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0，

设A（x1，y1）B（x2，y2），，，

∴，

∵点C（m，0）在线段OF上，∴0＜m＜1，

∴=（x1-m，y1）+（x2-m，y2）

=（，），

∵，

而AB的方向向量为（1，k），

∴，

∴，∴1+=，

∴==，∴，

∵0＜m＜1，∴k=．

故存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，

使得，l的斜率k=．

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题型：简答题

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简答题

已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线y=t椭圆C交与不同的两点M，N，以线段为直径作圆P，圆心为P．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

（Ⅲ）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．

正确答案

解：（Ⅰ）因为，且，所以

所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）

由得

所以圆P的半径为，

则有t2=3（1-t2），

解得所以点P的坐标是（0，）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以

设t=cosθ，θ∈（0，π），则

当，即，且x=0，y取最大值2．

解析

解：（Ⅰ）因为，且，所以

所以椭圆C的方程为

（Ⅱ）由题意知p（0，t）（-1＜t＜1）

由得

所以圆P的半径为，

则有t2=3（1-t2），

解得所以点P的坐标是（0，）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程x2+（y-t）2=3（1-t2）．因为点Q（x，y）在圆P上．所以

设t=cosθ，θ∈（0，π），则

当，即，且x=0，y取最大值2．

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题型：单选题

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单选题

若直线mx+ny=4和圆：x2+y2=4没有公共点，则过点（m，n）直线与椭圆的交点的个数（　　）

A0 个

B1个

C2 个

D3个

正确答案

C

解析

解：∵直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有公共点，

∴原点到直线mx+ny-4=0的距离d=＞2，

解得m2+n2＜4，

∴点P（m，n）是x2+y2=4圆内的点．

∵椭圆的长半轴2，短半轴为 2

∴圆x2+y2=4内切于椭圆，

∴点P是椭圆内的点，

∴过点P（m，n）的一条直线与椭圆的公共点数为2．

故选C．

1

题型：单选题

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单选题

直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A、B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于（　　）

A

B2

C

D4

正确答案

C

解析

解：直线4kx-4y-k=0可化为k（4x-1）-4y=0，故可知直线恒过定点（，0）

∵抛物线y2=x的焦点坐标为（，0），准线方程为x=-，

∴直线AB为过焦点的直线

∴AB的中点到准线的距离==2

∴弦AB的中点到直线x+=0的距离等于2+=

故选C．

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题型：填空题

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填空题

已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为 ______．

正确答案

解析

解：由椭圆方程得到右焦点的坐标为（，0），

因为直线与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F得到MF⊥x轴，

所以M的横坐标为，代入到直线方程得到M的纵坐标为，则M（，）

把M的坐标代入椭圆方程得：，化简得：（m2）2+8m2-128=0即（m2-8）（m2+16）=0

解得m2=8，m2=-16（舍去），根据c===2，而a==4

所以椭圆的离心率e===

故答案为：

1

题型：简答题

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简答题

8．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=．DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．

（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；

（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设=λ，试确定实数λ的取值范围．

正确答案

解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+

∴动点P的轨迹是椭圆

∴a=，b=1，c=1

∴曲线E的方程是．

（2）设直线L的方程为y=kx+2，代入曲线E的方程x2+2y2=2，得（2k2+1）x2+8kx+6=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

i） L与y轴重合时，=λ=

ii） L与y轴不重合时，由①得

又∵λ==，

∵x2＜x1x1＞0

∴0＜λ＜1，

∴

∵

而

∴6＜＜8

∴4＜＜

∴4＜＜，即，

由解得λ的取值范围是[，1）．

解析

解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示∵|PA|+|PB|=|CA|+|CB|=+

∴动点P的轨迹是椭圆

∴a=，b=1，c=1

∴曲线E的方程是．

（2）设直线L的方程为y=kx+2，代入曲线E的方程x2+2y2=2，得（2k2+1）x2+8kx+6=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

i） L与y轴重合时，=λ=

ii） L与y轴不重合时，由①得

又∵λ==，

∵x2＜x1x1＞0

∴0＜λ＜1，

∴

∵

而

∴6＜＜8

∴4＜＜

∴4＜＜，即，

由解得λ的取值范围是[，1）．

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