- 直线方程的综合应用
- 共376题
垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方程为______．
正确答案
设所求的直线方程为y=-3x+m，切点为（n，n3+3n2-1），
则由题意可得3n2+6n=-3，∴n=-1，
故切点为（-1，1），代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2，
故设所求的直线方程为y=-3x-2，
故答案为y=-3x-2．
已知点A（-1，2）和点B（3，4），则线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是______．
正确答案
由题意可得线段AB的中点为M（1，3），由于线段AB的一个方向向量为 （3，4）-（-1，2）=（4，2），
故线段AB的垂直平分线l的点法向式方程是4（x-1）+2（y-3）=0，即2（x-1）+（y-3）=0．
故答案为：2（x-1）+（y-3）=0．
已知直线l1：（k-3）x+（4-k）y+1=0，与l2：2（k-3）x-2y+3=0，平行，则k的值是______．
正确答案
当k=3时两条直线平行，
当k≠3时有2=-
故答案为：3或5．
已知函数f（x）=x2+bx，若直线y=bx+1与直线x-y+2=0平行，则数列{
正确答案
因为直线y=bx+1与直线x-y+2=0平行，
所以b=1，
所以函数f（x）=x2+x，
所以
所以Sn=1-
所以S2010的值为
故答案为
已知函数f(x)=x(x-a)(x-b)，点A(s，f(s))，B(t，f(t))，
(Ⅰ)若a=0，b=3，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)当a=0时，若不等式f(x)+x3lnx+x2≥0对任意的正实数x恒成立，求b的取值范围；
(Ⅲ)若0＜a＜b，函数f(x)在x=s和x=t处取得极值，且a+b＜2
正确答案
解：(Ⅰ)f(x)=x3-3x2，f′(x)=3x2-6x，
∴k=-3，
又f(1)=-2，
∴所求切线方程为3x+y-1=0。
(Ⅱ)当a=0时，x2(x-b)+x3lnx+x2≥0，即b≤x+xlnx+1，
令g(x)=x+xlnx+l，g′(x)=lnx+2，
由g′(x)=0，得x=e-2，
由上表知g（x）的最小值为
所以有
(Ⅲ)假设
故(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=-1，即[st-(s+t)a+a2][st-(s+t)b+b2]=-1，
由s，t为f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab=0的两根可得，
从而有
即
故直线OA与直线OB不可能垂直。
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