热门试卷

解：（Ⅰ）把x=2代入，得y=2，

∴点P坐标为（2，2），

由， ① 得y′=x，

∴过点P的切线的斜率=2，直线l的斜率kl=，

∴直线l的方程为y-2=-(x-2)，即x+2y-6=0；

（Ⅱ）设，则，

∵过点P的切线斜率=x0，当x0=0时不合题意，x0≠0，

∴直线l的斜率kl=，

直线l的方程为，②

 联立①②消去y，得，

设，

∵M是PQ的中点，

∴，

消去x0，得就是所求的轨迹方程，

由x≠0知，

∴，

上式等号仅当即时成立，

所以点M到x轴的最短距离是。

解：（1）由f（x）=ax3+bx2+c的图象过点P（-1，2）知-a+b+c=2

又f'（x）=3ax2+2bx

因为f（x）在点P处的切线与x-3y=0垂直，

所以3a-2b=-3

又c=0，解得a=1，b=3，

所以f'（x）=3x2+6x

令f'（x）=0得x1=0，x2=-2

显然，当x>0或x＜-2时，f'（x）>0，

-2＜x＜0时，f'（x）＜0，

所以（-∞，-2），（0，+∞）是f（x）的单调递增区间，

（-2，0）是 f（x）的单调递减区间。

（2）令f'（x）=3ax2+2bx=0，得x1=0，

又因为a>0，b>0，

所以当x>0或时，f'（x）>0，

即，（0，+∞）是f（x）的单调递增区间，

所以

由（1）知：-a+b+c=2且3a-2b=-3，

所以a=1-2c>0，b=3-3c>0，

∴，

∴1-2c∈（0，+∞）

∴

所以n-m-2c≥2，

即n-m-2c的范围是[2，+∞）。

（1）f'（x）=x2+ax+b（1分）

因为f（x）有极值，∴△=a2-4b＞0（2分）

又在x=-1处的切线与直线x-y+1=0平行，∴f'（-1）=1-a+b=1①②③④

∴b=a代入（*）式得，a2-4b＞0，∴a＞4或a＜0（6分）

（2）假若存在实数a，使f'（x）=x的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜1，

即x2+（a-1）x+a=0的两个根x1、x2满足0＜x1＜x2＜1，

令g（x）=x2+（a-1）x+a，则有：解之得

0＜a＜3∴存在实数a，且0＜a＜3使是f'（x）=x的两个根满足0＜x1＜x2＜1．

解：（Ⅰ）y′=2x+1，

直线l1的方程为y=3x-3，

设直线l2过曲线y=x2+x-2上的点B（b，b2+b-2），

则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2，

因为l1⊥l2，则有2b+1=，

所以直线l2的方程为。

（Ⅱ）解方程组，得，

所以直线l1和l2的交点的坐标为，

l1、l2与x轴交点的坐标分别为（1，0）、，

所以所求三角形的面积。