- 直线方程的综合应用
- 共376题
有下列结论：①若两条直线平行，则其斜率必相等；
②若两条直线的斜率乘积为-1，则其必互相垂直；
③过点（-1，1），且斜率为2的直线方程是
④同垂直于x轴的两条直线一定都和y轴平行；
⑤若直线的倾斜角为α，则0≤α≤π．
其中正确的结论有 ______（填写序号）．
正确答案
①若两条直线平行，则其斜率必相等或其斜率同时不存在．故①不正确；
②若两条直线的斜率乘积为-1，则其必互相垂直．这是直线垂直的充分不必要条件．故②成立；
③过点（-1，1），且斜率为2的直线方程是y-1=2（x+1），它与x轴有交点，而
④同垂直于x轴的两条直线一定都和y轴平行或重合，故④不正确；
⑤若直线的倾斜角为α，则0≤α＜π，故⑤不正确．
故答案：②．
已知函数
（I）求a的值；
（II）证明：g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立．
正确答案
解：（I）函数f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），
∴f′（1）=a
∵函数f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+3=0垂直
∴f′（1）=1 ∴a=1；
（II）由（I）可得 
证明g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立，
即 
∴只要证明lnx﹣x+1≤0（x＞0）恒成立
构造函数h（x）=lnx﹣x+1（x＞0）
∴
令 
结合x＞0，可得0＜x＜1，
令 
∴x=1处有极大值h（1）=0，且为最大值
∴lnx﹣x+1≤0在x∈（0，+∞）内恒成立
∴g（x）≤f（x）在x∈（0，+∞）内恒成立．
已知A，B 分别为曲线C：
（1）若曲线C为半圆，点T为圆弧
（2）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。
正确答案
解：（1）当曲线C为半圆时，a=1，由点T为圆弧
（i）当∠BOT=60°时，∠SAE=30°
又AB=2
故在△SAE中，有
∴
（ii）当∠BOT=120°时，同理可求得点S的坐标为
综上，
（2）假设存在
由于点M在以SB为直线的圆上，故
显然，直线AS的斜率k存在且k>0，可设直线AS的方程为
由
设点
∴
故
从而
亦即
∵
∴
由
∴
由
即
∵
∴
经检验，当
故存在
如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆的顶点，过坐标原点直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连结AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k，
(1)若直线PA平分线段MN，求k的值；
(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；
(3)对任意k＞0，求证：PA⊥PB．
正确答案
解：(1)由题设知，a=2，
所以线段MN中点的坐标为
由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，
又直线PA过坐标原点，
所以
(2)直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得
因此
直线AC的斜率为
故直线AB的方程为
因此，
(3)设P(m，n)，B(x，y)，则A(-m，-n)，C(m，0)，
∵A，B，C三点共线，
∴
∵P(m，n)，B(x，y)在椭圆
∴
∴
∴
∴PA⊥PB。
经过点P（-2，-1），Q（3，a）的直线与倾斜角为45°的直线垂直，则a=（ ）。
正确答案
-6
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