热门试卷

解：设AB、BC的斜率分别为k1、k2，

则，

又知xa-xb=m-2，

①当m-2=0，即m=2时，k1不存在，此时，k2=0，则AB⊥BC；

②当m-2≠0，即m≠2时，，

由，得m=-3，

故若AB⊥BC，则m=2或m=-3。

证明：，，，，

∴kAB=kCD，kBC=kAD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

又，

∴AB⊥BC，

∴四边形ABCD为矩形。

解：（Ⅰ）设M、N两点的横坐标分别为x1、x2，

∵，

∴切线PM的方程为：，

又∵切线PM过点P（1，0），

∴有，即x12+2tx1﹣t=0，（1）

同理，由切线PN也过点P（1，0），得x22+2tx2﹣t=0．（2）

由（1）、（2），可得x1，x2是方程x2+2tx﹣t=0的两根，

∴（*）

=，把（*）式代入，得，

因此，函数g（t）的表达式为．

（Ⅱ）当点M、N与A共线时，kMA=kNA，

∴=，即=，

化简，得（x2﹣x1）[t（x2+x1）﹣x1x2]=0

∵x1≠x2，

∴t（x2+x1）=x2x1．（3）

把（*）式代入（3），解得．

∴存在t，使得点M、N与A三点共线，且．

（Ⅲ）知g（t）在区间上为增函数，

∴（i=1，2,...，m+1），则．依题意，不等式对一切的正整数n恒成立，，即对一切的正整数n恒成立．

∵，

∴，

∴．由于m为正整数，∴m≤6．

又当m=6时，存在a1=a2═am=2，a m+1=16，对所有的n满足条件．

因此，m的最大值为6．

解：（1）M(-2，0)，N(0，)，M、N的中点坐标为(-1，)，

所以；

（2）由，得，，

AC方程：，

即：，

所以点P到直线AB的距离；

（3）由题意设，则，

∵A、C、B三点共线，

∴，

又因为点P、B在椭圆上，

∴，两式相减得：，

∴，

∴PA⊥PB。