- 直线方程的综合应用
- 共376题
如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB。求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线。
正确答案
解：如图，点A，B在抛物线
设
∴
由OA⊥AB，得
依点A在AB上，得直线AB方程
由OM⊥AB，得直线OM方程
设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以
并利用③式整理得
由③、④两式得
由①式知，
∴
因为A、B是原点以外的两点，
所以x≠0，
所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点。
已知方程x2+y2-2x-4y+m=0。
（Ⅰ）若此方程表示圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求以MN为直径的圆的方程。
正确答案
解：（Ⅰ）
（Ⅱ）
将x=4-2y代入得
∵OM⊥ON，得出：
∴
∴
（Ⅲ）设圆心为（a，b），
半径
∴圆的方程为
已知圆C：x2+y2+x-6y+m=0和直线l：x+y-3=0。
（Ⅰ）若圆C与直线l交于A、B两点，且CA⊥CB，求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线l交于P、Q两点，是否存在m，使OP⊥OQ？
正确答案
解：（Ⅰ）
故所求圆的方程为：
（Ⅱ）假设存在m，使OP⊥OQ，则设
联立
且符合
如图，椭圆C1：
（Ⅰ）求C1，C2的方程；
（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交与D，E，
（ⅰ）证明：MD⊥ME；
（ⅱ）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2，问：是否存在直线l，使得
正确答案
解：（Ⅰ）由题意知
又
故C1，C2的方程分别为
（Ⅱ）（ⅰ）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=kx，
由
设
又点M的坐标为（0，-1），
所以
故MA⊥MB，即MD⊥ME。
（ⅱ）设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x-1，
由
又直线MB的斜率为
同理可得点B的坐标为
于是
由
解得
则点D的坐标为
又直线ME的斜率为
于是
因此
由题意知
又由点A，B的坐标可知，
故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为
如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，AD⊥AB，AD∥BC，AB=4，BC=3，AD=1，以A，B为焦点的椭圆经过点C。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点E（0，1），问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|=|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由。
正确答案
解：（1）连接AC，依题意设椭圆的标准方程为
在Rt△ABC中，AB=4，BC=3，
∴AC=5
∴CA+CB=5+3=2a，a=4
又2c=4，
∴c=2，从而b=
∴椭圆的标准方程为
（2）由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|=|NE|，当l与x轴平行时，|ME|=|NE|显然成立，此时k=0
设直线l的方程为y=kx+m（k≠0）
由
（3+4k2）x2+8kmx+4m2-48=0，
∵Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-48）>0，
∴16k2+12>m2，①
令M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为F（x0，y0）
则
∵|ME|=|NE|，
∴EF⊥MN，
∴kEF×k=-1
即
化简得m=-（4k2+3），
结合①得16k2+12>（4k2+3）2，
即16k4+8k2-3＜0，
解之得
综上所述，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为
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