- 直线方程的综合应用
- 共376题
设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=2x2．
（Ⅰ） 求x＜0时，f（x）的表达式；
（Ⅱ） 令g（x）=lnx，问是否存在x0，使得f（x），g（x）在x=x0处的切线互相平行？若存在，请求出x0值；若不存在，请说明理由．
正确答案
（Ⅰ）当x＜0时，-x＞0，f（x）=-f（-x）=-2（-x）2=-2x2；（6分）
（Ⅱ）若f（x），g（x）在x0处的切线互相平行，则f'（x0）=g'（x0），（4分）
f′(x0)=4x0=g′(x0)=
∵x≥0，得x0=
若函数f（x）=ax3-bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值，且函数f（x）图像上以点A（3，f（3））为切点的切线与直线5x-y+1=0平行。
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）以点A（3，f（3））为切点的切线方程；
（3）若方程f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围。
正确答案
解：（1）
由题意知
解得
∴
（2）∵
所以切线方程为
即
（3）由（1）知
令
当x变化时，
∴
∴
函数
若方程
由图像可知：
已知定义在R上的函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d，∈R）的图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值-
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得在此两点处的切线互相垂直？证明你的结论．
正确答案
（I）因为图象关于原点对称，所以f（x）为奇函数，所以b=0，d=0；
所以f（x）=ax3+cx，因此f'（x）=3ax2+c
由题意得 
解得 a=
所以f（x）=
（II）不存在．
证明：假设存在x1，x2，则f'（x1）•f'（x2）=-1
所以（x12-1）（x22-1）=-4
因为x1，x2∈[-1，1]所以x12-1，x22-1∈[-1，0]
因此（x12-1）（x22-1）≠-4
所以不存在．
若曲线f（x）=x·sinx+1在x=
正确答案
2
设曲线网y=eax在点（0，1）处的切线与直线x+4y-1=0垂直，则a=______．
正确答案
∵y'=aeax∴曲线y=eax在点（0，1）处的切线斜率k=y'|x=0=a，
又直线x+4y-1=0的斜率为-
由切线与直线x+4y-1=0垂直得a=4．
故答案为4
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