热门试卷

（Ⅰ）证明：取BD中点M，连结MC，FM，

∵F为BD1中点，

∴FM∥D1D且FM=D1D，

又EC=CC1，且EC⊥MC，

∴四边形EFMC是矩形，

∴EF⊥CC1，

又CM⊥面DBD1，

∴EF⊥面DBD1，

∵BD1面DBD1，

∴EF⊥BD1，

故EF为BD1与CC1的公垂线。

（Ⅱ）解：连结ED1，有，

由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，

设点D1到面BDE的距离为d，

则S△DBC·d=·EF，

∵AA1=2·AB=1，

∴，

∴，

故点D1到平面BDE的距离为。

（Ⅰ）证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，得

AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，

所以AD⊥BC．

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

则AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：连接CD，则由（Ⅰ）知∠ACD是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1是二面角A1-BC-A的平面角，即∠ACD=θ，∠ABA1=φ，

于是在Rt△ADC中，sinθ=，在Rt△ADB中，sinφ=，

由AB＜AC，得sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜，所以θ＜φ，

解法2：由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA1=a，AC=b，

AB=c，则B（0，0，0），A（0，c，0），C(，0，0)，A1(0，c，a)，

于是=(，0，0)，=(0，c，a)，=(，-c，0)，=(0，0，a)．

设平面A1BC的一个法向量为n=（x，y，z），

则由．得．

可取n=（0，-a，c），于是n•=ac＞0，与n的夹角β为锐角，则β与θ互为余角．sinθ-cosβ==，cosφ==，

所以sinφ=，

于是由c＜b，得＜，

即sinθ＜sinφ，又0＜θ，φ＜，所以θ＜φ，

证明：（1）连结BD，

∵E，H分别是边AB，AD的中点，

∴EH∥BD，

又∵，

∴FG∥BD，

因此EH∥FG且EH≠FG，

故四边形EFGH是梯形；

（2）由（1）知EF，HG相交，设EF∩HG=K，

∵平面ABC，

∴K∈平面ABC，同理K∈平面ACD，

又平面平面ACD=AC，

∴K∈AC，故FE和GH的交点在直线AC上。