热门试卷

函数的定义域为，

（1）当时，，，

而在上单调递增，又，

当时，，则在上单调递减；

当时，，则在上单调递增，所以有极小值，没有极大值。                                          

（2）先证明：当恒成立时，有 成立。

若，则显然成立；

若，由得，令，则，

令，由得在上单调递增，

又因为，所以在上为负，在上为正，因此在上递减，在上递增，所以，从而。

因而函数若有两个零点，则，所以，

由得，则

，

所以在上单调递增，所以，

所以在上单调递增，所以

，则，所以，

由得，则

，所以，综上得，         

（3）由（2）知当时，恒成立，所以，

即，

设，则，

当时， ，所以在上单调递增；

当时，，所以在上单调递增，

所以的最大值为，即，因而，

所以，即，

函数定义域为，.

（1）当时，，.

所以.

所以曲线在点处的切线方程是，

即.                                      ……… 3分

（2） 当时，.

设，则.

令得，或，注意到，所以.

令得，注意到，得.

所以函数在上是减函数，在上是增函数。

所以函数在时取得最小值，且.

所以在上恒大于零。

于是，当，恒成立。

所以当时，函数在上为增函数.            ……… 7分

（2）问另一方法提示：当时，.

由于在上成立，即可证明函数在上为增函数。

（3）由（2）.

设，.

(1)当时，在上恒成立，

即函数在上为增函数.

而，，则函数在区间上有且只有一个零点，使,且在上，，在上，，故为函数在区间上唯一的极小值点;

(2)当时，当时，成立，函数在区间上为增函数，又此时，所以函数在区间恒成立，即，

故函数在区间为单调递增函数，所以在区间上无极值；

(3)当时，.

当时，总有成立，即成立，故函数在区间上为单调递增函数，所以在区间上无极值.

综上所述.                                             ……… 13分

（1）由为PN的中点，且是PN的中垂线，

，

∴＞＞……………………（4分）

∴点G的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，又

∴………………………………………………………………（6分）

（2）∵.四边形OASB为平行四边行，假设存在直线1，使

四边形OASB为矩形若1的斜率不存在，则1的方程为

由＞0.这与相矛盾，

∴1的斜率存在.……………………………………………………………………（8分）

设直线1的方程

∴…………………………………………（10分）

∴

由∴…（13分）

∴存在直线1：或满足条件.…………………（14分）

（1）由题意得   解得

所以椭圆的方程为， 

（2）当直线的斜率为0时，不存在符合题意的点；  

当直线的斜率不为0时，设直线的方程为,

代入，整理得,

设，，则，,

设存在符合题意的点，

则

, 

设线段的中点，则，

所以,

因为是正三角形，所以，且,   

由得即，所以,

所以,

由得，

解得，所以，

由得,

所以,

所以存在符合题意的点。