圆的切线方程
共533题

· 圆的切线方程

圆的切线方程
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题型：填空题

填空题

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，过点C的切线CD交PQ于D，连接OC．

（1）求证：△CDQ是等腰三角形；

（2）如果△CDQ≌△COB，求BP：PO的值．

正确答案

解析

解：（1）由已知得∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴∠Q=30°，∠BCO=∠ABC=30°；

∵CD是⊙O的切线，CO是半径，

∴CD⊥CO，

∴∠DCQ=∠BCO=30°，

∴∠DCQ=∠Q，

故△CDQ是等腰三角形．

（2）设⊙O的半径为1，则AB=2，OC=1，BC=．

∵等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，

∴CQ=BC=．

∴AQ=AC+CQ=1+，

∴AP=AQ=，

∴BP=AB-AP=，

∴PO=AP-AO=，

∴BP：PO=．

题型：简答题

简答题

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G，

（1）求证：点F是BD中点；

（2）求证：CG是⊙O的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

正确答案

解：

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，

∴，

∵HE=EC，

∴BF=FD

（2）证明：连接CB、OC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，

又∵OC为圆O半径

∴CG是⊙O的切线．

（3）解：由FC=FB=FE得：

∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AEH，

∴∠FCE=∠AEH，

∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，

∴∠G=∠FAB，

∴FA=FG，

∵FB⊥AG，

∴AB=BG．

由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2②

由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1=6，FG2=-2（舍去）

∴AB=BG=4，

∴⊙O半径为2．

解析

解：

（1）证明：∵CH⊥AB，DB⊥AB，

∴△AEH∽△AFB，△ACE∽△ADF，

∴，

∵HE=EC，

∴BF=FD

（2）证明：连接CB、OC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°

∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，

又∵OC为圆O半径

∴CG是⊙O的切线．

（3）解：由FC=FB=FE得：

∠FCE=∠FEC，

∵∠FEC=∠AEH，

∴∠FCE=∠AEH，

∵∠G+∠FCE=90°，∠FAB+∠AEH=90°，

∴∠G=∠FAB，

∴FA=FG，

∵FB⊥AG，

∴AB=BG．

由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2②

由①、②得：FG2-4FG-12=0，解之得：FG1=6，FG2=-2（舍去）

∴AB=BG=4，

∴⊙O半径为2．

题型：简答题

简答题

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

正确答案

解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D=60°，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，得OA⊥AE，

又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∵∠ABC=60°，OB=OC，

∴△BOC是等边三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半径R=OB=AB=4，

由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，

因此，劣弧AC的长等于==．

解析

解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D=60°，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，得OA⊥AE，

又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∵∠ABC=60°，OB=OC，

∴△BOC是等边三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半径R=OB=AB=4，

由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，

因此，劣弧AC的长等于==．

题型：填空题

填空题

如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D．

（1）求证：CD是⊙O切线；

（2）若⊙O的直径为4，AD=3，求∠BAC的度数．

正确答案

解析

证明：（1）连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC．

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠CAD．

∴∠OCA=∠CAD．

∴OC∥AD．

又∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD．

∴OC是⊙O的切线．

（2）连接BC，

∵AB是直径，

∴∠BCA=90°．

∴∠BCA=∠ADC=90°．

∵∠BAC∠=∠CAD，

∴△BAC∽△CAD．

∴即=．

∴AC=2．

在Rt△ABC中，cos∠BAC=．

∴∠BAC=30°．

题型：单选题

单选题

如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的大小为（　　）

A70°

B80°

C90°

D99°

正确答案

解析

解：∵EB、EC是⊙O的切线，

∴EB=EC，

又∵∠E=46°，

∴∠ECB=∠EBC=67°，

∴∠BCD=180°-（∠BCE+∠DCF）=180°-99°=81°；

∵四边形ADCB内接于⊙O，

∴∠A+∠BCD=180°，

∴∠A=180°-81°=99°．

故选：D．

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