- 圆的切线方程
- 共533题
经过原点的直线l与圆C：x2+（y-4）2=4有公共点，则直线l的斜率的取值范围是______．
正确答案
设直线L：y=kx即kx-y=0
由直线与圆C：x2+（y-4）2=4有公共点，即直线与圆相切或相交
∴
∴k2≥3
∴k≥
故答案为：（-∞，-
已知点P是圆C：x2+y2=1外一点，设k1，k2分别是过点P的圆C两条切线的斜率．
（1）若点P坐标为（2，2），求k1•k2的值；
（2）若k1•k2=-λ（λ≠-1，0），求点P的轨迹M的方程，并指出曲线M所在圆锥曲线的类型．
正确答案
（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0；
∵其与圆相切，则
∴k1•k2=1．
（2）设点P坐标为（x0，y0），过点P的切线斜率为k，
则方程为y-y0=k（x-x0），即kx-y-2k+2=0，
∵其与圆相切，∴
∵k1，k2存在，
则x0≠1且x0≠-1，△=（2x0y0）2-4（x02-1）（y02-1）=4（x02+y02）-4＞0，
∵k1，k2是方程的两个根，
∴k1•k2=
即所求的曲线M的方程为：λx2+y2=λ+1（x≠±1）；
若λ∈（-∞，-1）时，所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的双曲线；
若λ∈（-1，0）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的双曲线；
若λ∈（0，1），M所在圆锥曲线M是焦点在x轴上的椭圆；
若λ=1时，M所在曲线M是圆；
若λ∈（1，+∞）时，所在圆锥曲线M是焦点在y轴上的椭圆．
过坐标原点且与圆x2+y2-4x+2y+
正确答案
把圆的方程化为标准式方程得：（x-2）2+（y+1）2=
设切线方程的斜率为k，则切线方程为y=kx，
则圆心到直线的距离d=
所以所求的切线方程为：y=-3x或y=-
故答案为：y=-3x，y=-
圆（x-a）2+y2=1与直线y=x相切于第三象限，则a的值是______．
正确答案
因为圆（x-a）2+y2=1与直线y=x相切于第三象限，
所以
故答案为：-
在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1。
（1）过C1的左顶点引C1的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及x轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
（3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值。
正确答案
解：（1）双曲线C1：
过A与渐近线y=
以
所以所求三角形的面积为S=
（2）设直线PQ的方程为y=kx+b，因直线PQ与已知圆相切，故
由
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
又y1y2=（x1+b）（x2+b）
所以
故PO⊥OQ。
（3）当直线ON垂直x轴时，|ON|=1，|OM|=
则O到直线MN的距离为
当直线ON不垂直x轴时，设直线ON的方程为：y=kx，（显然|k|＞
则直线OM的方程为y=
由
所以
同理
设O到直线OM的距离为d，
因为（|OM|2+|ON|2）d2=|OM|2|ON|2，
所以
综上，O到直线MN的距离是定值。
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