直线的倾斜角与斜率
共186题

· 直线的倾斜角与斜率

直线的倾斜角与斜率
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题型：填空题

填空题 · 5 分

14．过点(－1, 0)的直线l与圆C:交于A，B两点，若△ABC为等边三角形，则直线l的斜率为．

正确答案

；

解析

设过点(－1, 0)的直线方程为y=k(x+1),因为△ABC为等边三角形，的圆心坐标为（2,0），根据圆心到直线的距离d=，所以得直线的斜率为。

考查方向

直线和圆的位置关系的问题。

解题思路

本题利用三角形是等边三角形最后求出斜率。

易错点

不会转化为所学知识来解答。

知识点

直线的倾斜角与斜率直线和圆的方程的应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

11. 直线与抛物线交于两点，为坐标原点，若直线的斜率

，满足，则的横截距

A为定值

B为定值

C为定值

D不是定值

正确答案

解析

分别设A.B两点的坐标，分别带入抛物线与直线中，消去参数，得到点斜式方程，最后求得定点坐标（此题也可将选项带入验证得到答案）

考查方向

圆锥曲线综合题

解题思路

将抛物线与直线联立，建立方程求得

易错点

计算能力

知识点

直线的倾斜角与斜率直线与抛物线的位置关系圆锥曲线的定点、定值问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为．

（i）当时，求直线的斜率；

（ii）是否存在直线，使得? 若存在，求出直线的斜率；若不存在，

说明理由．

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）（i）；

（ii）不存在直线，使得．

解析

（Ⅰ）

因为椭圆的左顶点在圆上，所以．

又离心率为，所以，所以,

所以,

所以的方程为．

（Ⅱ）（i）

法一：设点，显然直线存在斜率，

设直线的方程为，

与椭圆方程联立得,

化简得到，

因为为上面方程的一个根，所以，

所以

由，

代入得到，解得,

所以直线的斜率为．

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以．

因为，

代入得到

．

显然，所以不存在直线，使得．

法二：（i）设点，显然直线存在斜率且不为，

设直线的方程为，

与椭圆方程联立得,

化简得到,

显然上面方程的一个根，所以另一个根，即,

由，

代入得到，解得．

所以直线的斜率为

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以．

因为，

代入得到

．

若，则，与直线存在斜率矛盾，

所以不存在直线，使得．

考查方向

本题考查了椭圆的综合求解能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高．

解题思路

（Ⅰ）由椭圆的左顶点求出a，再有离心率求出c，进而求得b的值；

（Ⅱ）（i）联立方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得斜率k的值．

（ii）利用垂径定理求解．

易错点

计算量大，易出错．

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 12 分

19．已知曲线Γ上的点到的距离比它到直线的距离小2，过的直线交曲线Γ于两点。

（1）求曲线Γ的方程；

（2）若，求直线的斜率；

（3）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值。

正确答案

（1）曲线Γ的方程为；

（2）；

（3）min=4

解析

本题综合性较强，题目有一定难度，需要透彻理解抛物线的定义，巧设直线方程，灵活运用一元二次方程根与系数的关系来求。

解：（1）因为点到的距离比它到直线的距离小2，所以点到的距离等于点到直线x=-1的距离,所以曲线Γ为根据抛物线，知，直线x=-1为准线，抛物线方程为。

（2）设A（x1,y1）,B(x2,y2)因为直线过F（1，0），所以设lAB:x=my+1,又因为，所以代入得y2-4my-4=0,因此y1+y2=4m,y1y2=-4,①因为，所以（1-x1,-y1）=2(x2-1,y2),所以y1=-2y2,②由①②解得m=,所以kAB= =；(3) 因为原点与点C关于点对称，所以点O与点C到直线AB的距离相等，所以=|y1-y2|==．所以的最小值为4。

考查方向

本题是一个综合性很强的题目，考查了抛物线的定义，直线的斜率、向量的坐标式、一元二次方程根与系数关系等知识，在抛物线、向量、方程根等处进行了交汇，有一点的难度，考查了学生对基础知识的掌握能力、综合运用能力。

易错点

第二问中设直线方程为x=my+1,可以使解题方便，若设y=k(x-1),需要考虑斜率不存在的情况．

知识点

直线的倾斜角与斜率两点间的距离公式直接法求轨迹方程

题型：填空题

填空题 · 17 分

20．已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,,三点共线。

正确答案

（1）椭圆C的方程为

（2）见解析

解析

本题属于直线与椭圆关系的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）根据题目条件和a、b、c的关系可求

（2）设出两个交点的坐标

（3）根据已知条件，求出斜率关系，最后得出结论。

解：（I）由已知可得a-c=2,b=,又,解得a=4。故所求椭圆C方程为．（II）由（I）知A（-4，0），B(4,0),设P（），Q（）,所以。

因为P（）在椭圆C上，所以即,所以。又因为所以①。由已知点Q（）在圆上，AB为圆直径，所以,所以，由①②可得，，因为直线PA,QA有共同点A，所以A、P、Q三点共线。

考查方向

本题考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系等知识点，考查了学生分析问题与思考问题的能力，直线与圆锥曲线（特别是椭圆）的关系，是高考的重点内容，涉及的知识点较多，运算也比较复杂，对学生的运算能力有较高的要求，有时会与向量、距离、基本不等式、一元二次方程根与系数关系交汇在一起。

易错点

1、椭圆中a、b、c的关系会与双曲线中的搞错

2、第二问证三点共线，通常是证有公共点的两条直线的斜率相等（或者是采用向量的方法）

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 17 分

正确答案

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

棒棒哒，已学完当前知识点学习下一知识点

下一知识点 : 三点共线问题

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