热门试卷

面与面所成二面角的正切值为

建立如图所示的空间直角坐标系，

则．

延长交轴于点，易得，

作于点，连结，

则即为面与面所成二面角的平面角．

又由于且，得，

那么，，

从而，

因此．

故面与面所成二面角的正切值为．

（1）（2）证明见解析（3）．

（1），

，同理．

是平面的法向量．

（2）设平行四边形的面积为，与的夹角为，

则．

结论成立．

（3）设点到平面的距离为，与平面所成的角为，

则，

又，

．

（1）略  （2）A1到面BDD1的距离为 （3）D1-EC-D的大小为

(I) 要证BD1//平面A1DE，只要证明BD1平行该面内的一条直线，取中点，由中位线可证得；(II)等积法求高；(III)可以用传统法找出平面角也可以向量法求。

解法一：（I）证明：连结AD1交A1D于F，则F为中点，连结EF，如图．

∵ E为中点，∴ EF//BD1．又EF面A1DE，BD1面A1DE，

∴ BD1//面A1DE．……………3分

（II）在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=，

∴ ，，

设A1到面BDD1的距离为d，则由有

，即，解得 ，

即A1到面BDD1的距离为．……………………………………………8分

（III）连结EC．由，有，，

过D作DH⊥EC于H，连结D1H，由已知面AA1D1D⊥面ABCD且DD1⊥AD，

∴DD1⊥面ABCD．由三垂线定理知：D1H⊥EC，∴ ∠DHD1为D1-EC-D的平面角．

Rt△EBC中，由，BC=1，得．又DH·EC=DC·BC，代入解得，

∴在Rt△DHD1中，．∴，即二面角D1-EC-D的大小为．…………12分

解法二：（I）同解法一．………………3分

（II）由面ABCD⊥面ADD1A，且四边形AA1D1D为正方形，四边形ABCD为矩形，可得D1D⊥AD，D1D⊥DC，DC⊥DA．

于是以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，

∴ =(1，2，0)，=(0，0，1)，=(0，2，-1)．设面BDD1的一个法向量为n1，

则 即 ∴．

∴ 点A1到面BDD1的距离．  …………………………8分

（III）由（II）及题意知：E(1，，0)，C(0，2，0)，，．

设面D1EC的一个法向量为，

则  即可得．

又易知面DEC的一个法向量是(0，0，1)，

设D1-EC-D的大小为θ，则，得．

即D1-EC-D的大小为