热门试卷

(1)见解析(2)见解析（3）-

(1)证明　∵AD＝BC，N是BC的中点，∴AD＝NC，又AD∥BC，∴四边形ANCD是平行四边形，∴AN＝DC，又∠ABC＝60°，∴AB＝BN＝AD，

∴四边形ANCD是菱形，∴∠ACB＝∠DCB＝30°，

∴∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又平面C′BA⊥平面ABC，平面C′BA∩平面ABC＝AB，∴AC⊥平面ABC′.

(2)证明:∵AD∥BC，AD′∥BC′，AD∩AD′＝A，BC∩BC′＝B，∴平面ADD′∥平面BCC′，又C′N⊂平面BCC′，∴C′N∥平面ADD′.

(3)解:∵AC⊥平面ABC′，AC′⊥平面ABC.

如图建立空间直角坐标系，

设AB＝1，则B(1,0,0)，C(0，，0)，C′(0,0，)，

N，∴′＝(－1,0，)，′＝(0，－，)，设平面C′NC的法向量为n＝(x，y，z)，则即

取z＝1，则x＝，y＝1，∴n＝(，1,1)．

∵AC′⊥平面ABC，∴平面C′AN⊥平面ABC，又BD⊥AN，平面C′AN∩平面ABC＝AN，∴BD⊥平面C′AN，BD与AN交于点O，O则为AN的中点，O，∴平面C′AN的法向量＝.

∴cos〈n，〉＝＝，

由图形可知二面角A­C′N­C为钝角，

所以二面角A­C′N­C的余弦值为－

（1）见解析（2）∶2

(1)证明　因为PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又ABCD是菱形，∴BD⊥AC，又BD∩PD＝D，故AC⊥平面PBD，又AC⊂平面EAC.

所以平面EAC⊥平面PBD.

(2)解　连接OE，

因为PD∥平面EAC，所以PD∥OE，所以OE⊥平面ABCD，又O是BD的中点，故此时E为PB的中点，以点O为坐标原点，射线OA，OB，OE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz.

设OB＝m，OE＝h，则OA＝m，A，B(0，m,0)，E(0,0，h)，＝(－m，m,0)，＝(0，－m，h)，向量n1＝(0,1,0)为平面AEC的一个法向量，设平面ABE的一个法向量n2＝(x，y，z)

则n2·＝0，且n2·＝0，

即－mx＋my＝0且－my＋hz＝0.

取x＝1，则y＝，z＝，则n2＝，

∴cos 45°＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝，解得＝，故PD∶AD＝2h∶2m＝h∶m＝∶2.

（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．

设，

则，，

于是，，，

则，

所以．………………6分

（Ⅱ）若，则，，

设平面的法向量为，

由，得：，令，则，

于是，而

设与平面所成角为，所以，

所以与平面所成角为．

略

（1）证明：∵　菱形的对角线互相垂直，∴，∴，

∵ ，∴．

∵　平面⊥平面，平面平面，且平面，

∴　平面, ∵ 平面，∴　……………4分

（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系．

设 因为，所以为等边三角形，

故，．又设，则，．

所以，，，

故 ，

所以，

当时，．此时，………………………………6分

设点的坐标为，由（1）知，，则，，，．所以，，

∵，　∴          ．             

∴，∴．   10分

设平面的法向量为，则．

∵，，∴　

取，解得：， 所以．……………………………… 8分

设直线与平面所成的角，

∴

．……………………………………………… 10分

又∵∴． ∵，∴．

因此直线与平面所成的角大于，即结论成立

略