- 平面的法向量
- 共243题
(本小题满分10分)
已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,,N为AB上一点,AB="4AN," M、S分别为PB,BC的中点.以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立如图空间直角坐标系.
(Ⅰ)证明:CM⊥SN;
(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.
正确答案
(Ⅰ),因为
,
所以CM⊥SN
(Ⅱ)SN与平面CMN所成角为45°
证明:则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(
,0,0),S(1,
,0).
(Ⅰ),因为
,
所以CM⊥SN
(Ⅱ),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,
则 因为
,
所以SN与平面CMN所成角为45°
在正三棱柱中,所有棱的长度都是2,
是
边的中点,问:在侧棱
上是否存在点
,使得异面直线
和
所成的角等于
.
正确答案
在侧棱上不存在点
,使得异面直线
和
所成的角等于
以点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系
.
因为所有棱长都等于2,所以.
假设在侧棱上存在点
,使得异面直线
与
所成的角等于
,
可设,
则.
于是,.
因为异面直线和
所成的角等于
,
所以和
的夹角是
或
.
而,
所以,解得
,但由于
,
所以点不在侧棱
上,
即在侧棱上不存在点
,使得异面直线
和
所成的角等于
.
(12分)如图7-15,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都等于a,D、E分别是AC1、BB1的中点,
(1)求证:DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度;
(2)求二面角E—AC1—C的大小;
(3)求点C1到平面AEC的距离。
正确答案
(1)过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1、CC1于F、G,则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1,
∴△EFG为正三角形,D为FG的中点,ED⊥FG。
连AE, ∵D、E分别为
的中点,
∴
。又∵面EFG⊥BB1,
∴ED⊥BB1,故DE为AC1和BB1的公垂线,计算得DE=a。
(2)∵AC=CC1,D为AC1的中点,∴CD⊥AC1,又由(1)可知,ED⊥AC1,∴∠CDE为二面角E—AC1—C的平面角,计算得∠CDE=90°。或由(1)可得DE⊥平面AC1,∴平面AEC1⊥平面AC1,∴二面角E—AC1—C为90°。
(3)用体积法得点C1到平面ACE的距离为a。
略
如图,四面体两两垂直,
是
的中点,
是
的中点.
(1)建立适当的坐标系,写出点的坐标;
(2)求与底面
所成的角的余弦值.
正确答案
(1)点坐标为
点坐标为
.
;
(2).
(1)如图,以为
轴,
为
轴,
为
轴,
为原点建立
空间直角坐标系,则点坐标为
点坐标为
,
点坐标为
.
为
的中点,
.
为
中点,
;
(2)设为
中点,则
.
两两互相垂直,
平面
.
分别为
中点,
.
面
.故
为
与面
所成的角.
.
.
如图,正四棱柱中,
,点
在
上且
.
(1)证明:平面
;
(2)求二面角的余弦值大小.
正确答案
以D为原点,分别以DA、DC、DD余弦值所在直线为x轴、y轴、z轴,建系如图所示
D(0,0,0) A1(2,0,4) B(2,2,0) E(0,2,1) C(0,2,0)
(1)
∴A1C⊥DB A1C⊥DE
又DBDE="D " ∴A1C⊥平面BDE
(2)由(1)知是平面BDE的一个法向量
=(-2,2,-4)
设平面A1DE的一个法向量=(x,y,z)
略
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