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题型:简答题
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简答题

(本小题满分10分)

已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,,N为AB上一点,AB="4AN," M、S分别为PB,BC的中点.以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立如图空间直角坐标系.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN;

(Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小.

正确答案

(Ⅰ),因为

所以CM⊥SN

(Ⅱ)SN与平面CMN所成角为45°

证明:则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0).

(Ⅰ),因为

所以CM⊥SN    

(Ⅱ),设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量,

 因为,

所以SN与平面CMN所成角为45°

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简答题

在正三棱柱中,所有棱的长度都是2,边的中点,问:在侧棱上是否存在点,使得异面直线所成的角等于

正确答案

在侧棱上不存在点,使得异面直线所成的角等于

点为原点,建立如图所示的空间直角坐标系

因为所有棱长都等于2,所以

假设在侧棱上存在点,使得异面直线所成的角等于

可设

于是,

因为异面直线所成的角等于

所以的夹角是

所以,解得,但由于

所以点不在侧棱上,

即在侧棱上不存在点,使得异面直线所成的角等于

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简答题

(12分)如图7-15,在正三棱柱ABC—A1B1C1中,各棱长都等于a,D、E分别是AC1、BB1的中点,

(1)求证:DE是异面直线AC1与BB1的公垂线段,并求其长度;

(2)求二面角E—AC1—C的大小;

(3)求点C1到平面AEC的距离。

正确答案

(1)过D在面AC1内作FG∥A1C1分别交AA1、CC1于F、G,则面EFG∥面ABC∥面A1B1C1

∴△EFG为正三角形,D为FG的中点,ED⊥FG。

连AE, ∵D、E分别为的中点,

  。又∵面EFG⊥BB1

∴ED⊥BB1,故DE为AC1和BB1的公垂线,计算得DE=a。

(2)∵AC=CC1,D为AC1的中点,∴CD⊥AC1,又由(1)可知,ED⊥AC1,∴∠CDE为二面角E—AC1—C的平面角,计算得∠CDE=90°。或由(1)可得DE⊥平面AC1,∴平面AEC1⊥平面AC1,∴二面角E—AC1—C为90°。

(3)用体积法得点C1到平面ACE的距离为a。

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简答题

如图,四面体两两垂直,的中点,的中点.

(1)建立适当的坐标系,写出点的坐标;

(2)求与底面所成的角的余弦值.

正确答案

(1)点坐标为点坐标为

(2)

(1)如图,以轴,轴,轴,为原点建立

空间直角坐标系,则点坐标为点坐标为

点坐标为

的中点,

中点,

(2)设中点,则

两两互相垂直,平面

分别为中点,

.故与面所成的角.

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简答题

如图,正四棱柱中,,点上且

(1)证明:平面

(2)求二面角的余弦值大小.

正确答案

以D为原点,分别以DA、DC、DD余弦值所在直线为x轴、y轴、z轴,建系如图所示

D(0,0,0)   A1(2,0,4)    B(2,2,0)    E(0,2,1)    C(0,2,0)

(1)        ∴A1C⊥DB    A1C⊥DE

又DBDE="D      " ∴A1C⊥平面BDE

(2)由(1)知是平面BDE的一个法向量

=(-2,2,-4)

设平面A1DE的一个法向量=(x,y,z)

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