热门试卷

(1) CE="1" (2)证明略（3）A1B与平面BDE所成角的正弦值为

（1） 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），A1（2，0，4），

B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B1C，

∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

（2）由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），

又=（-2，2，-4），=（2，2，0），

∴·=4+0-4=0，

且·=-4+4+0=0.

∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.

即A1C⊥平面BED.

（3） 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,

∴cos〈,〉==.

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为.

证明（1）（法一）因为平面平面，

且平面平面，

又在正方形中，，

所以，平面． ………………2分

而平面，

所以，．        ………………3分

在直角梯形中， ,，

，

所以，，

所以，．         ………………4分

又，平面，，

所以，平面．    ………………6分

而平面，

所以，平面平面． ……………7分

（法二）同法一，得平面．              …………………………2分

以为原点，，，分别为，轴，建立空间直角坐标系．

则，，，．     …………………………3分

所以，， ，,

，，

所以，，．                     …………………………………5分

又，不共线，，平面，

所以，平面．                           …………………………6分

而平面，

所以，平面平面．                     …………………………7分

（2）（法一）因为，平面，平面，

所以，平面．                         …………………………9分

因为平面与平面有公共点，

所以可设平面平面，．

因为平面，平面，平面平面，

所以．                                    ………………………10分

从而，，

又，且，，所以为中点，也为正方形．  12分

易知平面，所以，．

所以，是平面与平面所成锐二面角的平面角，

而，

所以平面与平面所成锐二面角为．     …………………………14分

（法二）由（1）知，平面的一个法向量是． ………………9分

设平面的一个法向量为，

因为，

所以， 取，得，所以．………………11分

设平面与平面所成锐二面角为，

则．                ………………………………13分

所以平面与平面所成锐二面角为．    …………………………14分

略

（1）异面直线和所成角的余弦值为;（2）二面角的大小为.

试题分析：（1）建立如图所示坐标系,写出各点的空间坐标，利用，夹角的余弦，得出两异面直线和所成角的余弦值. （2）利用平面的法向量与平面的法向量的夹角，求出二面角的大小.

试题解析：

解：取的中点，连接，为等边三角形，

，又平面平面， 2分

以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，不妨设,依题意可得：

 3分

（1）,

从而 ,

 5分

于是异面直线和所成角的余弦值为.6分

（2）因为，所以是平面的法向量，8分

设平面的法向量为，又，

由 即，令得 10分

于是 11分

从而二面角的大小为.                     12分