平面的法向量
共243题

· 平面的法向量

平面的法向量
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题型：简答题

简答题

如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.

正确答案

（1）（2）

（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

∴，，

∵，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

（2）设平面的法向量为，因为，，

∴，即，取，得，，∴，

取平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角的大小为，

由，得，

故平面与平面所成二面角的正弦值.

【考点定位】本小题主要考查异面直线、二面角、空间向量等基础知识以及基本运算，考查运用空间向量解决问题的能力.

题型：简答题

简答题

如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,

cos〈,〉=.

(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;

(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.

正确答案

(1) 点E的坐标是（1，1，1）(2) F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB

(1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），

设P（0，0，2m），则E（1，1，m），

∴=（-1，1，m），

=（0，0，2m）.

∴cos〈,〉==.

解得m=1,∴点E的坐标是（1，1，1）.

（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）.

则=（x-1，-1，z-1），

又=（2，0，0），=（0，2，-2）

∵EF⊥平面PCB

∴⊥，且⊥

即

∴

∴，∴F点的坐标为（1，0，0）

即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.

题型：填空题

填空题

在平面直角坐标系中，设A（-2，3），B（3，-2），沿轴把直角坐标平面折成大小为的二面角后，这时则的大小为　　　　　．

正确答案

试题分析：作轴，垂足为点,作轴，垂足为点,再作,

连接,而轴，轴，,就是二面角的平面角，而，所以为直角三角形，,所以,,由余弦定理可得，,．

题型：简答题

简答题

如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，且侧棱面，点是的中点．

（1）求证：；（2）求证：∥平面

正确答案

因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，

又平面，所以，……………………………………… 2分

又点是棱的中点，且为正三角形，所以，

因为，所以平面，………………………………4分

又因为平面，所以．………………………………6分

(2)连接交于点，再连接．………7分

因为四边形为矩形，

所以为的中点，………………8分

又因为为的中点，

所以.………………………10分

又平面，平面，

所以平面．

略

题型：简答题

简答题

(本小题满分16分)（理科做）在如图所示的几何体中，平面，平面，，，是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：

⑴求证：；

⑵求与平面所成角的大小．

正确答案

⑴分别以所在直线为轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………………………………2分

设，则，

所以，………4分

所以，

所以．…………………………8分

⑵，设平面的法向量，

则有即令，则，…………………12分

，…………………14分

所以，直线与平面所成的角为．…………………………………16分

略

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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