- 动量守恒定律
- 共6910题
如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，一端与质量为m2档的板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O点。A与B撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B 与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求
（1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小；
（2）弹簧最大压缩量为d时的弹性势能Ep（设弹簧处于原长时弹性势能为零）。
正确答案
解：（1）由机械能守恒定律，有
（2）A、B在碰撞过程中内力远大于外力，由动量守恒，有
A、B克服摩擦力所做的功
由能量守恒定律，有
解得
质量为M的小物块A静止在离地面高h的水平桌面的边缘，质量为m的小物块B沿桌面向A运动并以速度v0与之发生正碰（碰撞时间极短）。碰后A离开桌面，其落地点离出发点的水平距离为L。碰后B反向运动。求B后退的距离？（已知B与桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g）
正确答案
解：设t为A从离开桌面至落地经历的时候，V表示刚碰后A的速度，有
h=
L=Vt ②
设v为刚碰后B的速度的大小，由动量守恒， mv0=MV-mv ③
设B后退的距离为l，由功能关系: μmgl=mv2 ④
由以上各式得: L=
质量为m1=5kg的小球在光滑水平面上以速度
正确答案
-25，2.5
某同学用一个光滑的半圆形轨道和若干个大小相等、可视为质点的小球做了三个有趣的实验，轨道固定在竖直平面内，且两端同高。第一次，他将一个小球从离轨道最低点的竖直高度处由静止沿轨道下滑（远小于轨道半径），用秒表测得小球在轨道底部做往复运动的周期为；第二次，他将小球放在轨道的最低点，使另一个小球从轨道最高点由静止沿轨道滑下并与底部的小球碰撞，结果小球返回到原来高度的1/4，小球也上滑到同样的高度；第三次，用三个质量之比为m1:m2:m3＝5:3:2的小球做实验，如图所示，先将球2和3放在轨道的最低点，球1从某一高度由静止沿轨道下滑，它们碰后上升的最大高度分别为1、2和3，不考虑之后的碰撞。设实验中小球间的碰撞均无能量损失。重力加速度为。求：
（1）半圆形轨道的半径；
（2）第二次实验中两小球的质量之比mA:mB；
（3）第三次实验中三个小球上升的最大高度之比h1:h2:h3。
正确答案
解：（1）第一次实验中，小球的运动可以看做摆长为的单摆，根据单摆周期公式有：
所以
（2）第二次实验中，球从高为处释放，设球与球碰撞前瞬间的速度大小为，碰撞后瞬间它们速度的大小分别为和。由题意知，球与碰后达到的高度均为
所以
又根据动量守恒定律有
所以
（3）根据题意设球1、2、3的质量分别为5、3和2。设球1与球2碰撞前后的速度分别为1、v1'，球2与球3碰撞前后的速度分别为、v2'，球3与球2碰撞后的速度为v3。球1与球2碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
解得
球2与球3碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
解得
在三个小球的上升过程中，根据机械能守恒定律有
解得
如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h，物块B质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O点正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为h/16。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求物块在水平面上滑行的时间t。
正确答案
解：设小球的质量为m，运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为v1，取小球运动到最低点重力势能为零，根据机械能守恒定律，有
得
设碰撞后小球反弹的速度大小为v1'，同理有
得
设碰后物块的速度大小为v2，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有mv1=-mv1'+5mv2 ③
得
物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小F=5μmg ⑤
设物块在水平面上滑行的时间为t，根据动量定理，有-Ft=0－5mv2 ⑥
得
如图所示，固定在地面上的光滑圆弧面与车C的上表面平滑相接，在圆弧面上有一个滑块A，其质量为mA=2kg，在距车的水平面高h=1.25m处由静止下滑，车C的质量为mC=6kg，在车C的左端有一个质量mB=2kg的滑块B，滑块A与B均可看作质点，滑块A与B碰撞后粘合一起共同运动，最终没有从车C上滑出，已知滑块A和B与车C的动摩擦因数均为
（1）滑块A滑到圆弧面末端时的速度大小；
（2）滑块A与B碰撞后瞬间的共同速度的大小；
（3）车C的最短长度。
正确答案
解：（1）设滑块A滑到圆弧未端时的速度大小为v1，由机械能守恒定律有
代入数据解得
（2）设A、B碰后瞬间的共同速度为v2，滑块A与B碰撞瞬间与车C无关，滑块A与B组成的系统动量守恒
代入数据解得
（3）设车C的最短长度为L，滑块A与B最终没有从车C上滑出，三者最终速度相同设为v3根据动量守恒定律有
根据能量守恒定律有
联立⑤⑥式代入数据解得
如图所示，内壁光滑半径为R的圆形轨道，固定在竖直平面内，质量为m1的小球静止在轨道最低点，另一质量为m2的小球（两个小球均可视为质点）从内壁上与圆心O等高的位置由静止释放，运动到最低点时与m1发生碰撞并粘在一起．求：
(1)小球m2刚要与m1发生碰撞时的速度大小；
(2)碰撞后，m1、m2沿内壁运动所能达到的最大高度（相对碰撞点）。
正确答案
解：(1)设小球m2刚要与m1发生碰撞时的速度大小为v0，由机械能守恒定律，得
解得
(2)设两球碰撞后，m1、m2两球粘在一起的速度为v，由动量守恒定律，得
m2v0=(m1+m2)v ③
设两球碰撞后上升的最大高度为h，由机械能守恒定律，得
由②③④三式解得
如图所示，光滑的水平面连接一个竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为0.50 m。小物体A（质量为m）以v=15 m/s的速度与物体B（质量为M）发生正碰后，以v1=5.0 m/s的速度沿原路返回，求：要使物体B碰撞后恰能沿半圆形轨道运动到最高点，两物体质量之比m/M是多少？（g取10 m/s2）
正确答案
解：要使B恰好运动到最高点，需满足
对B：由机械能守恒定律，得
由①②得：vB=5 m/s
对A、B由动量守恒定律得：mv=MvB-mv1所以
如图甲所示，物体A、B的质量分别是6kg和10kg，用轻弹簧相连放在光滑的水平面上，物体B左侧与竖直墙壁接触，另有一物体C从t=0时刻起水平向左运动，在t=3 s时与物体A相碰，并立即与A有相同的速度一起向左运动，物块C的速度一时间图象如图乙所示。求：弹簧压缩过程中系统具有的最大弹性势能。
正确答案
解：由图象知，vt=6 m/s，vAC=2m/s
根据动量守恒定律；mCvC=(mA+mC)vAC
∴mC=3 kg
A、C压缩弹簧的过程中，动能转化为弹性势能，则
如图所示，两个完全相同的质量为m的木板A、B置于水平地面上，它们的间距s=2.88m。质量为2m、大小可忽略的物块C置于A板的左端。C与A之间的动摩擦因数为μ1=0.22，A、B与水平地面之间的动摩擦因数为μ2=0.10，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力。开始时，三个物体处于静止状态，现给C施加一个水平向右，大小为2mg/5的恒力F，假定木板A、B碰撞时间极短且碰撞后粘连在一起。要使C最终不脱离木板，每块木板的长度至少应为多少？
正确答案
解：设A、C之间的滑动摩擦力大小为f1，A与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f2
且
∴一开始A和C保持相对静止，在F的作用下向右加速运动，有
A、B两木板的碰瞬间，内力的冲量远大于外力的冲量，由动量守恒定律得
碰撞结束后到三个物体达到共同速度的相互作用过程中，设木板向前移动的位移为s1，选三个物体构成的整体为研究对象，外力之和为零，则
设A、B系统与水平地面之间的滑动摩擦力大小为f3，对A、B系统，由动能定理
对C物体，由动能定理
由以上各式，再代入数据可得t=0.3m ⑨
如图所示，一个物块A（可看成质点）放在足够长的平板小车B的右端，A、B一起以v0的水平初速度沿光滑水平面向左滑行。左边有一固定的竖直墙壁，小车B与墙壁相碰，碰撞时间极短，且碰撞前、后无动能损失。已知物块A与小车B的水平上表面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）若A、B的质量均为m，求小车与墙壁碰撞后的运动过程中，物块A所受摩擦力的冲量大小和方向；
（2）若A、B的质量比为k，且k＜1，求物块A在小车B上发生相对运动的过程中物块A对地的位移大小；
（3）若A、B的质量比为k，且k=2，求小车第一次与墙壁碰撞后的运动过程所经历的总时间。
正确答案
解：（1）设小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v，设向右为正方向，则由动量守恒定律得mv0－mv0=2mv
解得v=0
对物块A，由动量定理得摩擦力对物块A的冲量I=0－（－mv0）=mv0，冲量方向水平向右
（2）设A和B的质量分别为km和m，小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v′，木块A的位移大小为s。设向右为正方向，则由动量守恒定律得：mv0－kmv0=（m+km）v′
解得v′=
对木块A由动能定理
代入数据解得
（3）当k=2时，根据题意由于摩擦的存在，经B与墙壁多次碰撞后最终A、B一起停在墙角。A与B发生相对运动的时间t0可等效为A一直做匀减速运动到速度等于0的时间，在A与B发生相对滑动的整个过程，对A应用动量定理：
解得时间
设第1次碰后A、B达到的共同速度为v1，B碰墙后，A、B组成的系统，没有外力作用，水平方向动量守恒，设水平向右为正方向，由动量守恒定律，得mv0－2mv0=（2m+m）v1
即
第1次碰后小车B向左匀速运动的位移等于向右匀减速运动到速度大小为v1这段运动的位移s1
对小车B，由动能定理得-μ2mgs1=
解得s1=
第1次碰后小车B向左匀速运动时间
设第2次碰后共速为v2，由动量守恒定律，得mv1－2mv1=（2m+m）v2
即
第2次碰后小车B向左匀速运动的位移等于向右匀减速运动到速度大小为v2这段运动的位移s2
对小车B，由动能定理得-μ2mgs2=
解得s2=
第2次碰后小车B向左匀速运动时间
同理，设第3次碰后共速为v3，碰后小车B向左匀速运动的位移为s3，则由动量守恒定律，得
第3次碰后小车B向左匀速运动时间
由此类推，第n次碰墙后小车B向左匀速运动时间
第1次碰墙后小车B向左匀速运动时间即B从第一次撞墙后每次向左匀速运动时间为首项为t1，末项为tn，公比为
（1）如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速度u0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。
（2）如图2，将N个这样的振子放在该轨道上。最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0。其余各振子间都有一定的距离。现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。
正确答案
解：（1）设小球质量为m，以u1、u2分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度。由动量守恒和能量守恒定律有
mu1+mu2=mu0（以向右为速度正方向）
解得u1=u0，u2=0或u1=0，u2=u0
由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取：u1=0，u2=u0
（2）以v1、v1'分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向。由动量守恒和能量守恒定律有
mv1+mv1'=0
解得v1=
在这一过程中，弹簧一直压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解：v1＝－
振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为v1，此后两小球都向左运动。当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大。设此速度为v10，根据动量守恒有2mv10=mv1
用E1表示最大弹性势能，由能量守恒有：
解得E1＝
如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
正确答案
解：（1）由
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则
设向右为正、向左为负，解得
设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N′，方向竖直向上为正、向下为负
则
N′=-N=-4.5mg，方向竖直向下
（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2，则
解得
由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；
当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同
如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2 m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×103 V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度υ0沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10-2 kg，乙所带电荷量q=2.0×10-5 C，g取10 m/s2。（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移）
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足（1）的条件下，求的甲的速度υ0；
（3）若甲仍以速度υ0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围。
正确答案
解：（1）在乙恰好能通过轨道的最高点的情况下，设乙到达最高点的速度为
联立①②③得：
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为
联立⑤⑥得：
由动能定理得：
联立①⑦⑧得：
（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为
联立⑽⑾得：
由⑿和
设乙球过D点的速度为
联立⑨⒀⒁得：
设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为
联立②⒂⒃得：
如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=60°的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于45°。
正确答案
解：设小球m的摆线长度为l，小球m在下落过程中与M相碰之前满足机械能守恒：
m和M碰撞过程满足：
联立②③得：
说明小球被反弹，而后小球又以反弹速度和小球M发生碰撞，满足：
解得：
整理得：
所以：
而偏离方向为45°的临界速度满足：
联立①⑨⑩代入数据解得，当n=2时，
当n=3时，
所以最多碰撞3次
扫码查看完整答案与解析