- 牛顿运动定律
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如图所示，质量为m的b球用长h的细绳悬挂于水平轨道BC的出口C处．质量也为m的小球a，从距BC高h的A处由静止释放，沿ABC光滑轨道滑下，在C处与b球正碰并与b粘在一起．已知BC轨道距地面有一定的高度，悬挂b球的细绳能承受的最大拉力为2.8mg.试问：
(1)a与b球碰前瞬间，a球的速度多大？
(2)a、b两球碰后，细绳是否会断裂？(要求通过计算回答)
正确答案
①
试题分析：①设a球经C点时速度为vC，则由机械能守恒得mgh＝
解得vC＝
②设a、b球碰后的共同速度为v，由动量守恒定律得
mvC＝(m＋m)v
故v＝
两球被细绳悬挂绕O摆动时，若细绳拉力为FT，则由牛顿第二定律得
FT－2mg＝2m
解得FT＝3mg
因为FT>FTm＝2.8mg，所以细绳会断裂
一滑块(可视为质点)经水平轨道AB进入竖直平面内的四分之一圆弧形轨道BC.已知滑块的质量m="0.50" kg，滑块经过A点时的速度vA="5.0" m/s,AB长x="4.5" m，滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.10,圆弧形轨道的半径R="0.50" m，滑块离开C点后竖直上升的最大高度h="0.10" m.取g="10" m/s2.求：
(1)滑块第一次经过B点时速度的大小；
(2)滑块刚刚滑上圆弧形轨道时，对轨道上B点压力的大小；
(3)滑块在从B运动到C的过程中克服摩擦力所做的功.
正确答案
（1）vB="4." 0 m/s（2）N="21" N（3）
试题分析：(1)滑块由A到B的过程中，应用动能定理得：
解得：vB="4." 0 m/s (2分)
(2)在B点，滑块开始做圆周运动，由牛顿第二定律可知
解得:N="21" N (2分)
根据牛顿第三定律可知，滑块对轨道上B点压力的大小也为21 N (1分)
(3)滑块从B经过C上升到最高点的过程中，由动能定理得
解得:
所以滑块克服摩擦力做功1.0 J (2分)
点评：本题中第一问也可以根据运动学公式求解，但用动能定理求解不用考虑加速度，过程明显简化；运用动能定理要注意过程的选择，通常运动过程选的越大，解题过程越简化；动能定理比运动学公式适用范围更广，对于曲线运动同样适用．
若两颗人造地球卫星的周期之比为T1∶T2＝2∶1，则它们的轨道半径之比R1∶R2＝＿＿＿＿，向心加速度之比a1∶a2＝＿＿＿＿。
正确答案
试题分析：根据开普勒第三定律：
(20分) 一传送带装置示意图如图，其中传送带AB段是水平的，CD段是倾斜的，动摩擦因数均为
（1）为了小货箱到达B点前相对于传动带静止，AB段至少多长？
（2）将每个小货箱从A点运送到D点，因摩擦产生了多少热量？
（3）求电动机的平均输出功率？
正确答案
（1）
试题分析：(1)直接运用动能定理求解：
刚开始小货箱相对于传送带有滑动，相对静止前，设货箱在传送带上滑行的距离为s，
由动能定理得：
也可以运用运动学的知识求解：
货箱的加速度a=gμ，加速到速度为v时的时间为t=
传送带运动的距离为s1=vt=
所以货箱在传送带上相对滑动的距离为s=s1－s2=
(2) 每个小货箱从A点运送到D点只有在货箱与传送带发生相对运动时才产生热量，热量的大小等于摩擦力与相对运动距离的乘积。
Q=W=fs=mgμ×
(3) 设T时间内运送货箱N个,，则
每个货箱由A点运到D点需要能量E
故
如图示，物体A的质量为1kg，A和小车的接触面间动摩擦因数为0.25，当小车的加速度为 时，才能使A在小车右端面向下匀速运动．当小车静止时，物体A沿小车接触面下滑时与小车间的滑动摩擦力为 。(g取10m/s2)
正确答案
40 m/s2 ， 0
试题分析：当物体向下匀速运动时，受到竖直向上的摩擦力与重力平衡，由此可知
点评：难度中等，分析本题的关键在于明确物体和小车在水平方向上相对静止，加速度相同
如下图所示是游乐场中过山车的实物图片，左图是过山车的模型图。在模型图中半径分别为R1＝2．0m和R2＝8．0m的两个光滑圆形轨道，固定在倾角为α＝37°斜轨道面上的Q、Z两点，且两圆形轨道的最高点A、B均与P点平齐，圆形轨道与斜轨道之间圆滑连接。现使小车（视作质点）从P点以一定的初速度沿斜面向下运动。已知斜轨道面与小车间的动摩擦因数为μ＝1/24，g＝10m/s2，sin37°＝0．6，cos37°＝0．8。问：
（1）若小车恰好能通过第一个圆形轨道的最高点A处，则其在P点的初速度应为多大？
（2）若小车在P点的初速度为10m/s，则小车能否安全通过两个圆形轨道？
正确答案
略
在海滨游乐园里有一种滑沙的游乐活动。如图所示，人坐在滑板上从斜坡的高处A点由静止开始滑下，滑到斜坡底部B点后沿水平滑道再滑行一段距离到C点停下来。斜坡滑道与水平滑道间是平滑连接的，滑板与两滑道间的动摩擦因数均为μ=0.50，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。
(1) 若斜坡倾角θ=37°，人和滑板的总质量m="60" kg。求人在斜坡上下滑时的加速度大小；（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
(2)由于受到场地限制，A点到C点的水平距离只有s=50m,为确保人身安全,请根据计算说明，在设计斜坡滑道时，对高度应有怎样的要求？
正确答案
解：⑴在斜坡上下滑时，人与滑板的受力情况如图所示
由牛顿第二定律得，
mgsinθ-f=ma， （2分）
N-mgcosθ=0， （2分）
另外有f=μN （1分）
由以上各式联立解得 a=2m/s2 （1分）
⑵设斜坡倾角为θ，斜坡的最大高度为h，滑至底端的速度为υ，则
v2=2ax，x=h/sinθ （1分）
沿BC滑行的加速度为 a’=μg，（2分）
沿BC滑行的距离为 L= v2/2 a’ （1分）
为确保安全，应有 L+hcotθ≤s （2分）
联立解得 h≤25m，斜坡的高度不应超过25m。 （1分）
应用牛顿第二定律、摩擦定律和匀变速直线运动规律及其相关知识列方程解答。
将一弹性绳一端固定在天花板上O点，另一端系在一个物体上，现将物体从O点处由静止释放，测出物体在不同时刻的速度v和到O点的距离s，得到的v-s图象如图所示．已知物体及位移传感器的总质量为5kg，弹性绳的自然长度为12m，则物体下落过程中弹性绳的平均拉力大小为______N，当弹性绳上的拉力为100N时物体的速度大小为______m/s．（不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2）
正确答案
在下落的整个过程中，只有重力和弹性绳弹力做功，根据动能定理得：
mgh-F（h-l0）=0-0
其中h=35m
解得：F=76.0N
由图可知，当速度最大时，加速度等于零，此时重力等于弹簧弹力，则有：
mg=k（20-12）
解得：k=
F=k（s-l0）
解得：s=28m
从图中读出对应的速度为：v=15.5m/s
故答案为：76.0；15.5
(10分)在学校组织的一次雪后大扫除活动中，一名学生用F="100" N的拉力先后两次拉质量为m=20kg的雪筐沿水平地面运动，如图所示。(sin370=0.6，cos370=0.8，重力加速度取g=10m／s2)
(1)第一次拉力为水平方向，雪筐恰好做匀速直线运动。求雪筐与地面之间的动摩擦因数。
(2)第二次拉力与水平方向成370，雪筐做匀加速直线运动，求雪筐加速度的大小。
正确答案
（1）
试题分析：(1)第一次拉力为水平方向，雪筐做匀速直线运动。则有：
已知
(2)以平行于地面方向为X轴，垂直地面方向为Y轴建立直角坐标系．
根据牛顿第二定律有：
x轴：
Y轴：
解得：
（10分）有一绝缘的、半径为R的光滑圆轨道固定在竖直平面内，在其圆心处固定一带正电的点电荷，现有一质量为m，带电量也为正电（其电量远小于圆心处的电荷，对圆心处电荷产生的电场影响很小，可忽略）的小球A，圆心处电荷对小球A的库仑力大小为F。开始小球A处在圆轨道内侧的最低处，如图所示。现给小球A一个足够大的水平初速度，小球A能在竖直圆轨道里做完整的圆周运动。
（1）小球A运动到何处时其速度最小？为什么？
（2）要使小球A在运动中始终不脱离圆轨道而做完整的圆周运动，小球A在圆轨道的最低处的初速度应满足什么条件？
正确答案
（1）小球运动到轨道最高点时速度最小，理由见解析 （2）
试题分析：（1）小球运动到轨道最高点时速度最小 2分
在圆心处电荷产生的电场中，圆轨道恰好在它的一个等势面上，小球在圆轨道上运动时，库仑力不做功，当小球运动到圆轨道最高处时，其重力对它做的负功最多，此时速度最小。 2分
（2）在最低点，小球受到的电场力F与重力mg方向相同，小球不会脱离轨道。
在最高点，小球受到的电场力F与重力mg方向相反，当
小球从圆轨道最底处运动到最高处的过程中由动能定理得：
由二式解得：
在最高点，当
由（2）、（3）和（4）可得：
如图所示，滑轮A可沿倾角为θ的足够长光滑轨道下滑，滑轮下用轻绳挂着一个重为G的物体B，下滑时，物体B相对于A静止，则下滑过程中B的加速度______，绳的拉力______（不计空气阻力）
正确答案
对A、B整体分析，根据牛顿第二定律得，mgsinθ=ma，解得a=gsinθ．
因为A、B的加速度相等，则B的加速度为gsinθ．
隔离对B分析，如图所示．因为B的合力方向沿斜面向下，根据平行四边形定则得，T=Gcosθ．
故答案为：gsinθ、Gcosθ
雨滴下落时所受到的空气阻力与雨滴的速度有关，雨滴速度越大，它受到的空气阻力越大；此外，当雨滴速度一定时，雨滴下落时所受到的空气阻力还与雨滴半径的α次方成正比（1≤α≤2）．假设一个大雨滴和一个小雨滴从同一云层同时下落，最终它们都______（填“加速”、“减速”或”匀速”）下落．______（填“大”或“小”）雨滴先落到地面；接近地面时，______（填“大”或“小”）雨滴的速度较小．
正确答案
由于雨滴受到的空气阻力与速度有关，速度越大阻力越大，因此最终当阻力增大到与重力平衡时都做匀速运动；
设雨滴半径为r，则当雨滴匀速下落时受到的空气阻力f∝rα，由题意可知，雨滴下落时的阻力与速度有关，可以假定阻力与vn成正比，则可知f=Krαvn；（K为常数）
而物体的重力mg=ρg•
即：ρg•
故半径越大的雨滴下落速度越快，因此半径大的匀速运动的速度大，平均速度也大，故大雨滴先落地且落地速度大，小雨滴落地速度小．
故答案为：匀速；大；小．
静电喷漆技术具有效率高，浪费少，质量好，有利于工人健康等优点，其装置如图所示．A、B为两块平行金属板，间距d＝0.40 m，两板间有方向由B指向A，大小为E＝1.0×103 N/C的匀强电场．在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P，油漆喷枪的半圆形喷嘴可向各个方向均匀地喷出带电油漆微粒，油漆微粒的初速度大小均为v0＝2.0 m/s，质量m＝5.0×10－15 kg、带电量为q＝－2.0×10－16 C．微粒的重力和所受空气阻力均不计，油漆微粒最后都落在金属板B上．试求：
（1）微粒打在B板上的动能； （2）微粒到达B板所需的最短时间；
（3）微粒最后落在B板上所形成的图形及面积的大小．
正确答案
（1）
试题分析：（1）每个微粒在电场中都只受竖直向下的电场作用，且电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关，根据动能定理得：
解得：微粒打在B板上的动能为
（2）由题设知，微粒初速度方向垂直于极板时，到达B板时间最短，设到达B板时速度为
解得：
在垂直于极板方向上，微粒做初速度为
解得：
（3）初速度大小相等沿水平方向的所有带电微粒都做类平抛运动，其它带电微粒做类斜下抛运动，所以微粒落在B板上所形成的图形是圆形，且最大半径R为类平抛运动的水平射程。设带电微粒的加速度大小为a，根据牛顿第二定律得：
根据运动学规律得：
联立解得：
所以微粒最后落在B板上所形成的圆面积为：
西岭雪山旅游景区，建有一山坡滑草运动项目．该山坡可看成倾角θ＝30°的斜面，一名游客连同滑草装置总质量m＝80 kg，他从静止开始匀加速下滑，在时间t＝5 s内沿斜面滑下的位移x＝50 m．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2，结果保留两位有效数字)问：
(1)游客连同滑草装置在下滑过程中受到的摩擦力f为多大？
(2)滑草装置与草皮之间的动摩擦因数μ为多大？
正确答案
(1)80 N (2)
试题分析：（1）由位移公式
沿斜面方向，由牛顿第二定律得：
代入数值解得
（2）在垂直斜面方向上，
又
联立并代入数值后，解得
点评：加速度是联系力和运动的桥梁，通过加速度可以根据力求运动，也可以根据运动求力．
（9分）半径R＝0.50 m的光滑圆环固定在竖直平面内，轻质弹簧的一端固定在环的最高点A处，另一端系一个质量m＝0.20 kg的小球，小球套在圆环上，已知弹簧的原长为L0＝0.50 m，劲度系数k＝5N/m，将小球从如图所示的位置由静止开始释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点C，在C点时速度vC＝3m/s，g取10 m/s2.求：
(1)小球经过C点时的弹簧的弹性势能的大小；
(2)小球经过C点时对环的作用力的大小和方向．
正确答案
（1）
试题分析：（1）设小球经过C点时的弹簧的弹性势能的大小为
解得：
故小球经过C点时的弹簧的弹性势能的大小为
（2）小球经过最低点C时受到三个力作用，即重力G、弹簧弹力F、环的作用力FN.，通过径向的合力提供向心力，设环对小球的作用力方向向上，由牛顿第二定律可得：
根据胡克定律得：
代入数据解得：
由牛顿第三定律得：小球对环的作用力大小为3.1N，方向竖直向下
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