- 牛顿运动定律
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一平直的传送带以速率v=2m/s匀速运行，在A处把物体轻轻地放到传送带上，经过时间t=6s，物体到达B处．A、B相距L=10m．则物体在传送带上匀加速运动的时间是多少？如果提高传送带的运行速率，物体能较快地传送到B处．要让物体以最短的时间从A处传送到B处，说明并计算传送带的运行速率至少应为多大？若使传送带的运行速率在此基础上再增大1倍，则物体从A传送到B的时间又是多少？
正确答案
在传送带的运行速率较小、传送时间较长时，物体从A到B需经历匀加速运动和匀速运动两个过程，设物体匀加速运动的时间为t1，则
所以 t1=
为使物体从A至B所用时间最短，物体必须始终处于加速状态，由于物体与传送带之间的滑动摩擦力不变，所以其加速度也不变．而 a=
t2═
vmin=at2=1×
传送带速度再增大1倍，物体仍做加速度为1m/s2的匀加速运动，从A至B的传送时间为2
如图所示，静止在光滑水平桌面的布带上有一质量为m=1.0kg的小铁块，它离布带的右端距离为L=0.5m，铁块与布带间动摩擦因数为μ=0.1．现用力从静止开始向左以a0=2m/s2的加速度将布带从铁块下抽出，假设铁块大小不计，铁块不滚动，g取10m/s2，
求：（1）将布带从铁块下抽出需要多长时间？
（2）布带对铁块做了多少功？
正确答案
（1）设铁块离开带时，相对桌面移动了x的距离，布带移动的距离为L+x，铁块滑动的加速度为a，
由牛顿第二定律得：μmg=ma，
a=μg=1m/s2
根据运动学公式有：L+x=
x=
解得：t=
故将布带从铁块下抽出需要1s．
（2）x=
布带对铁块做的功：W=μmgx=0.5J
故布带对铁块做了0.5J的功．
如图所示，在倾角为θ=30°的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B，它们的质量均为m，弹簧的劲度系数为k，C为一固定挡板，系统处于静止状态．现开始用一沿斜面方向的力F拉物块A使之向上做匀加速运动，当物块B刚要离开C时F的大小恰为2mg．求从F开始作用到物块B刚要离开C的时间．
正确答案
令x1表示未加F时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿第二定律可知，
mgsin30°=kx1．
令x2表示B刚要离开C时弹簧的伸长量，a表示此时A的加速度，由胡克定律和牛顿第二定律可知kx2=mgsin30°，F-mgsin30°-kx2=ma
将F=2mg代入上式，又由x1+x2=
t=
答：从F开始作用到物块B刚要离开C的时间为t=
如图所示，水平传送带AB长L=8.3m，质量M=1Kg的木块随传送带一起以Vl=2m/s的速度向左匀速运动（传送带的传送速度恒定），木块与传送带的动摩擦因数u=0.5，当木块运动到最左端A点时，一颗质量为m=20g的子弹以V0=300m/s水平向右的速度正对射入木块并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1s就有一颗子弹射向木块，设子弹射穿木块的时间极短，且每次射入点各不相同，（g=10m/s2）求：
（1）在被第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离？
（2）木块在传送带上最多能被多少颗子弹击中？
正确答案
（1）第一颗子弹射入木块过程中动量守恒mv0-Mv1=mv+Mv1′…①
解得：v1′=3m/s…②
木块向右作减速运动加速度：a=μg=5 m/s2…③
木块速度减小为零所用时间：t1=
解得：t1=0.6s＜1s…⑤
所以木块在被第二颗子弹击中前向右运动离A点最远时，速度为零，移动距离为
解得：s1=
（2）在第二颗子弹射中木块前，木块再向左作加速运动，时间t2=1s-0.6s=0.4s ⑦
速度增大为：v2=at2=2m/s（恰与传送带同速）…⑧
向左移动的位移为：s2=
所以两颗子弹射中木块的时间间隔内，木块总位移：s0=s1-s2=0.5m方向向右
第16颗子弹击中前，木块向右移动的位移为：s=15×0.5m=7.5m
第16颗子弹击中后，木块将会再向右先移动0.9m，总位移为0.9m+7.5=8.4m＞8.3m木块将从B端落下．
所以木块在传送带上最多能被16颗子弹击中．
答：（1）在被第二颗子弹击中前，木块向右运动离A点的最大距离为0.9m；
（2）木块在传送带上最多能被16颗子弹击中．
一个质量m=1.0×10-11千克的物体静止在足够大的光滑水平地面上，从t=0开始，物体受到一个大小不变、方向呈周期性变化的水平力F作用，力F随时间的变化规律如图所示．已知F0=7.2牛，T=1×10-6秒．则：
（1）该物体在t=0至t=T期间，通过多少距离时速度第一次达到最大，最大速度为多少？
（2）请在如图的坐标系中绘出该物体在t=0至t=4T/3期间的v-t图象．
（3）该物体运动位移大小等于15厘米，需要的时间为多少？
（4）该物体在运动位移大小等于15厘米过程中，水平力F对物体做功多少？
正确答案
（1）物体在恒力作用下产生的加速度a=
由图象可以知，物体在
当物体通过距离S=
物体速度第一次达到最大，vmax=at=7.2×1011×（
（2）F-t图象可知，物体在
据速度时间关系知，反方向可以达到的最大速度v-max=at=7.2×1011×
所以在一个周期内的v-t图象如下图所示．
（3）物体在t=0至t=2T/3期间运动的正方向位移为
S1=
物体在t=2T/3至t=T期间运动的负方向位移大小为
S2=
物体在t=0至t=T期间运动的位移S3=S1-S2=0.06 m
根据物体运动的周期性（见图）
物体在t=0至t=2T期间运动的位移S4=2S3=0.12m
物体还有0.03m的距离，根据S=
0.03=
△t=
所以物体运动位移15厘米的时间为t总=2T+△t=2.29×10-6s
（4）物体运动15厘米位移大小时的速度
v=a△t=7.2×1011×
根据动能定理，力F在15厘米位移中对物体做的功等于物体动能的变化
WF=
答：（1）通过0.04m时速度达到最大2.4×105m/s
（2）v-t图象如图所示
（3）物体运动位移15厘米所需时间为2.29×10-6s
（4）物体运动位移15厘米力F做功为0.216J．
刚买回车的第一天，小明和父母去看望亲朋，小明的爸爸决定驾车前行．当拐一个弯时，发现前面是一个上坡．一个小男孩追逐一个球突然跑到车前．小明爸爸急踏刹车，车轮在马路上划出一道12m长的黑带后停住．幸好没有撞着小男孩！小男孩若无其事地跑开了．路边目睹了全过程的一位交通警察走过来，递过来一张超速罚款单，并指出这段路最高限速是60km/h．
小明对当时的情况作了调查：估计路面与水平面间的夹角为15°；查课本可知轮胎与路面的动摩擦因数μ=0.60；从汽车说明书中查出该汽车的质量是1 570kg，小明的体重是60kg；目击者告诉小明小男孩重30kg，并用3.0s的时间跑过了4.6m宽的马路．又知cos 15°=0.965 9，sin 15°=0.258 8．
根据以上信息，你能否用学过的物理知识到法庭为小明爸爸做无过失辩护？（g取9.8m/s2）
正确答案
对汽车进行分析，设刹车过程加速度大小为a．根据牛顿第二定律得
mgsin15°+f=ma，
N=mgcos15°
又f=μN
三式联立得
a=g（sin15°+μcos15°）
代入解得 a=8.22m/s2．
汽车刹车过程认为是匀减速运动，末速度为零，位移等于12m，根据公式v2-v02=-2ax得
v0=
说明汽车未超速．
故可以到法庭为小明爸爸做无过失辩护．
如图所示，一足够长的光滑斜面倾角为θ=30°，斜面AB与水平面BC连接，质量m=2kg的物体置于水平面上的D点，D点距B点的距离d=7m．物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，开始物体受到一水平向左的恒力F=8N的作用，经t=2s后撤去，不考虑物体经过B点时的能量损失，重力加速度g取10m/s2．求撤去拉力F后，经过多长时间物体经过B点？
正确答案
物体在水平面上运动过程：设撤去F前后物体的加速度大小分别为a1、a2，
由牛顿第二定律得：F-μmg=ma1，μmg=ma2，
代入解得a1=2m/s2，a2=2m/s2．
恒力F作用t=2s后物体的位移为x1=
此时物体的速度为v=a1t1=4m/s
设撤去拉力F后，物体第一次经过B点的时间为t1，
则由d-x1=vt1-
代入解得 t1=1s（另一解t1=3s，舍去，根据t1=3s，判断出物体到不了B点）
物体在斜面上运动过程：设加速度大小为a3，
则mgsin30°=ma3，a3=5m/s2．
由上可得物体滑到B点时速度大小为v0=v-a2t1=2m/s
则物体物体在斜面上滑行的总时间t2=
所以物体第二次经过B点的时间为t3=t1+t2=1.8s．
答：撤去拉力F后，物体两次经过B点，第一次时间为1s，第二次时间为1.8s．
如图所示，相同的两个轮子A、B半径R1=10cm，用传送带相连．C轮半径R2=5cm，与电动机转轴相连．已知电动机的转速n=300r/min，C轮与A轮间、AB轮与皮带间都不打滑．物体P以v0=1m/s的水平初速度从左端滑上传送带，P与传送带间的动摩擦因数μ=0.57，A、B间距离为2m，求：
（1）B轮的角速度是多大？
（2）物体P与传送带间的相对位移是多大？
正确答案
（1）由于不打滑，A、B、C的轮缘有相同的线速度大小，
ωBR1=ωCR2
ωC=2πn=31.4rad/s
代入解得ωB=15.7rad/s
（2）传送带的速度v=ωBR1=1.57m/s＞v0
开始阶段，物体P受向右的滑动摩擦力F=μmg
加速度a=
物体达到与传送带相同速度所用时间t=
这段时间内物体的位移x1=v0t+
相对位移大小△x=vt-x1=0.0285m
答：（1）B轮的角速度是15.7rad/s．
（2）物体P与传送带间的相对位移是 0.0285m．
如图所示，质量M=4Kg的木板AB静止放在光滑水平面上，C到木板左端A的距离L=0.5m，CB段木板是光滑的，质量m=1Kg的小木块静止在木板的左端，与AC段间的动摩擦因数μ=0.2．当木板AB受到水平向左F=14N的恒力，作用时间t后撤去，这时小木块恰好到达C处（g=10m/s2）．试求：
（1）水平恒力F作用的时间t；
（2）到达C点时两物速度各是多少．
正确答案
（1）木板和木块间的摩擦力f=μmg=2N
木块加速度为a1=2m/s2，水平向左
木板加速度为a2=
即两个物体都向左做匀加速直线运动；
以木板为参考系，木块的相对加速度为a=a1-a2=-1m/s2，水平向右．故木块相对于木板做初速度为0，加速度为1m/s2的向右的加速运动，从A到C相对位移为L．
所以L=
即水平恒力F作用的时间t为1s．
（2）以地面为参考系，两个物体都向左做匀加速直线运动
1s末木块的速度为v1=a1t=2m/s，水平向左；
木板的速度为v2=a2t=3m/s，水平向左
即到达C点时木板的速度为3m/s．木块的速度为2m/s．
如图所示，一水平传送带以不变的速度V向右运动，将质量为m的小物块A轻放在其左端，经ts后，物块A的速度也变为V，再经ts到达右端，则A从左端运动到右端的过程中，平均速度为______；A与传送带之间的动摩擦因数为______；在运送物块的过程中摩擦力对物块做的功______传送带克服物块的摩擦力所做的功（填“大于”、“等于”或“小于”）．
正确答案
工件的总位移为：x=
全程的平均速度为：
加速过程加速度为：a=
根据牛顿第二定律，有：μmg=ma；
故μ=
由于相对滑动，传送带位移大于滑块位移，故在运送物块的过程中摩擦力对物块做的功小于传送带克服物块的摩擦力所做的功；
故答案为：
如图所示，一儿童玩具静止在水平地面上，一个幼儿用与水平面成53°角的恒力拉着它沿水平面运动，已知拉力F=4.0N，玩具的质量m=0.5kg，经过时间t=2.0s，玩具移动了距离x=4.8m，这时幼儿松开手，玩具又滑行了一段距离后停下来．（取g=10m/s2．sin53°=0.8，
cos53°=0.6）
（1）玩具在松手之前的加速度？
（2）全过程玩具的最大速度是多大？
（3）松开手后玩具还能滑行多远？
正确答案
（1）由x=
（2）松手时，玩具的速度最大，v=at=2.4×2m/s=4.8m/s．
（3）对松手前玩具进行受力分析（如下左图）
Fcos53°-f=ma，
N+Fsin53°=mg
得：f=1.2N，N=1.8N．
所以μ=
松手后对玩具进行受力分析（如下右图）
a′=
所以还能滑行的距离x′=
如图所示，水平传送带A、B两端相距x=3.5m，工件与传送带间的动摩擦因数为μ=0.1，工件滑上A端时的瞬时速vA=4m/s，到达B端的瞬时速度为vB，试求传送带以速度v顺时针方向运行vB的大小．（g取10m/s2）
正确答案
当工件相对于传送带运动时，根据牛顿第二定律，加速度大小a=μg=1m/s2．
若工件一直加速到B端，根据速度位移公式得，vB=
若工件一直减速到B端，则速度大小为vB=
所以传送带的速度大于等于4.8m/s，则工件的速度vB=4.8m/s．
传送带的速度小于3m/s，则工件的速度vB=3m/s．
传送带的速度大于等于3m/s小于4.8m/s，则工件的速度等于传送带的速度v．
答：传送带以速度v顺时针方向运行，若v≥4.8m/s，则vB=4.8m/s．
若3m/s≤v＜4.8m/s，则vB=v．
若v＜3m/s，则vB=3m/s．
客机一般都配有紧急出口，发生意外情况时，客机着陆后打开紧急出口的舱门，会自动生成一个气囊（由斜面部分AC和水平部分CD构成），乘客可沿该气囊滑行到地面．如图所示，某客机气囊的竖直高度AB=3.0m，斜面长度AC=5.0m，一质量m=60kg的乘客从A处由静止开始滑下，最后停在水平部分的E处．已知乘客与气囊之间的动摩擦因数μ=0.55，忽略乘客在C处速度大小的变化，不计空气阻力，取g=10m/s2，求：
（1）乘客在斜面AC下滑时加速度a1的大小；
（2）乘客从A处开始到滑至E处的时间t．
正确答案
（1）乘客在斜面上的受力情况如右图所示．
设斜面的倾角为θ，由数学知识得：sinθ=
由牛顿第二定律，有：mgsinθ-μN=ma1 N-mg cosθ=0
解得：a1=gsinθ-μgcosθ=1.6m/s2
（2）设下滑时间为t1．在CD滑行时间为t2，
由：AC=
经过C点时的速度大小为v=a1t1=1.6×2.5m/s=4m/s
乘客在水平部分滑行的加速度为a2=
则t2=
故人经过t=t1+t2=3.23s安全着地．
答：（1）乘客在斜面AC下滑时加速度a1的大小1.6m/s2；
（2）乘客从A处开始到滑至E处的时间t是3.23s．
如图所示，在水平地面MN上方有一个粗糙绝缘平台PQ，高度为h=1m平台上方PR右侧有水平向右的有界匀强电场，PR左侧有竖直向上的匀强电场，场强大小均为E=1.1×l04N/C有一质量m=1.0×10-3kg、电荷量为q=-2.0×10-6C的滑块，放在距离平台左端P点L=1.2m处，滑块与平台间的动摩擦因数u=0.2，现给滑块水平向左的初速度v0=4m/s，取g=10m/s2，求：
（1）滑块经过P点时的速度；
（2）滑块落地点到N点的距离．
正确答案
（1）由动能定理qEL-μmgL=
得：vP=8m/s
滑块经过P点时的速度为8m/s；
（2）脱离平台后物体竖直方向运动的加速度为a，下落时间为t，
由牛顿第二定律可知：
mg+qE=ma
下落高度：h=
水平位移：s=vt
解得：s=2m，
滑块落地点到N点的距离为2m．
如图所示，水平地面上的平板车在外力控制下始终做匀速直线运动，速度大小v0=4m/s，方向水平向右．某时刻将一质量为m=1kg的小滑块（可视为质点）轻放到车面上的P点，P点与平板车左端相距L=3m，车面距地面的高度h=0.8m，滑块与车面间的动摩擦因数μ=0.2，取g=10m/s2，求：
（1）小滑块轻放到P点时的加速度a1；
（2）滑块运动至车的最左端时的速度多大？
（3）滑块刚落至地面时滑块与车左端的水平距离多大？
正确答案
（1）a1=μg=2m/s2
方向水平向右
（2）假设滑块一直匀加速至车的左端，运动时间为t1，
则L=x车-x物=v0t-
所以，3=4t-t2，解得：t1=1s，t2=3s（舍去）
当t1=1s时，滑块的速度为：v=at1=2m/s＜v0
所以，滑块运动到车的最左端的速度为2m/s
（3）滑块离开车后做平抛运动，下落时间为t，则h=
滑块落地时与车的左端的水平距离为：△x=（v0-v1）t=（4-2）×0.4=0.8m
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