- 牛顿运动定律
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如图，物块A、B质量分别为m1、m2，物块C在水平推力作用下，三者相对静止，一起向右以a=5m/s2的加速度匀加速运动，不计各处摩擦，取g=10m/s2，则m1﹕m2为多少？
正确答案
对B物体受力分析．受重力、拉力和支持力，根据牛顿第二定律，竖直方向：
T=m2g
再对A物体受力分析，受重力、支持力和细线的拉力，根据牛顿第二定律，水平方向，有：
T=m1a
联立解得：
m2g=m1a
故：m1：m2=g：a=2：1
答：m1：m2为2：1．
对于两物体碰撞前后速度在同一直线上，且无机械能损失的碰撞过程，可以简化为如下模型：A、B两物体位于光滑水平面上，仅限于沿同一直线运动，当它们之间的距离大于等于某一定值d时，相互作用力为零；当它们之间的距离小于d时，存在大小恒为F的斥力，设A物体质量m1=1.0kg，开始时静止在直线上某点；B物体质量m2=3.0kg，以速度v0从远处沿该直线向A 运动，如图所示，若F=0.60N，v0=0.20m/s，求：
（1）相互作用过程中A、B加速度的大小；
（2）从开始相互作用到A、B间的距离最小时，系统（物体组）动能的减少量．
正确答案
（1）由F=ma可得：
A的加速度为：a1=
B的加速度为：a2=
（2）两者速度相同时，距离最近，由动量守恒得：m2v0=（m1+m2）v
解得共同速度v=
则动能的变化量：|△Ek|=
即动能的变化量为0.015J；
答：
（1）相互作用过程中A、B加速度的大小分别为0.60m/s2，0.20m/s2；
（2）从开始相互作用到A、B间的距离最小时，系统（物体组）动能的减少量为0.015J．
某校课外活动小组自制一枚土火箭，火箭质量为3kg．点火后火箭始终垂直于地面向上运动，开始一段时间可视为做匀加速运动．经过4s到达离地面40m高处，燃料恰好用完．若空气阻力忽略不计，g取10m/s2．求
（1）燃料恰好用完时火箭的速度大小；
（2）火箭上升离地面的最大高度；
（3）火箭上升时受到的最大推力．
正确答案
（1）设燃料燃烧结束时火箭的速度为v，根据运动学公式
h=
得，v=
（2）火箭能够继续上升的高度h1=
火箭离地的最大高度 H=h+h1=40+20=60m ④
（3）火箭在飞行中质量不断减小，所以在点火起飞的最初其推力最大．
加速度为 a=
根据牛顿第二定律得 F-mg=ma ⑥
则 F=m（g+a）=3×（10+5）=45N ⑦
答：
（1）燃料恰好用完时火箭的速度大小是20m/s；
（2）火箭上升离地面的最大高度是60m；
（3）火箭上升时受到的最大推力是45N．
如图所示电子射线管．阴极K发射电子，阳极P和阴极K间 加上电压后电子被加速．A、B是偏向板，使飞进的电子偏离．若已知P、K间所加电压UPK=2.5×103V，两极板长度L=6.0×10-2m，板间距离d=3.6×10-2m，所加电压UAB=1000V，R=3×10-2m，电子质量me=9.1×10-31kg，电子的电荷量e=1.6×10-19C．设从阴极出来的电子速度为零，不计重力． 求：
（1）电子通过阳极P板的速度υ0是多少？
（2）电子通过偏转电极时具有动能Ek是多少？
（3）电子经过偏转电极后到达距离偏转电极R=3×10-2m的荧光屏上的O′点，此点偏离入射方向的距离y是多少？
正确答案
质量是60kg的人站在升降机中的体重计上如图所示，当升降机做下列各种运动时，体重计的读数是多少？（g=10m/s2）
（1）升降机匀速上升；
（2）升降机以4m/s2的加速度上升；
（3）升降机以5m/s2的加速度下降；
（4）升降机以重力加速度g加速下降．
正确答案
（1）升降机匀速上升，受力平衡，则FN=mg=600N
（2）升降机加速上升，加速度方向向上，支持力大于重力
根据牛顿第二定律得：
FN1-mg=ma1
FN1=m（g+a1）=840N
（3）升降机加速下降，加速度方向向下，支持力小于重力
根据牛顿第二定律得：
mg-FN2=ma2
FN2=m（g-a2）=300N
（4）升降机以重力加速度g加速下降，物体处于完全失重状态，FN3=0，
也可根据牛顿第二定律得：
mg-FN3=ma3
FN3=m（g-a3）=0
答：（1）升降机匀速上升时体重计的读数是600N；（2）升降机以4m/s2的加速度上升时体重计的读数是840N；（3）升降机以5m/s2的加速度下降时体重计的读数是300N；（4）升降机以重力加速度g加速下降时体重计的读数是0．
有一轻弹簧，原长L0=0.50m，劲度系数k=100N/m，上端固定．在其下端挂一质量m=1.0kg的铁块后，再将铁块竖直向下拉，使弹簧长度变为L1=0.90m．然后由静止释放铁块，则铁块在竖直方向上做简谐运动．如果知道铁块在平衡位置时的弹性势能EP1=0.50J，经过平衡位置时速度vm=3.0m/s．（g=10m/s2 ）
求：（1）铁块在做简谐振动时的振幅A；
（2）铁块在振动过程到达最高点时弹簧的弹性势能EP2．
正确答案
（1）设铁块处于平衡位置O时，弹簧的长度为L2，则L2=L0+
铁块作简谐运动，其振幅为A=L1-L2=0.9m-0.6m=0.30m
（2）由机械能守恒定律，得EP2=
代入已知数值，得铁块到达最高点时弹簧的弹性势能为
EP2=
答：（1）铁块在做简谐振动时的振幅A为0.30m；
（2）铁块在振动过程到达最高点时弹簧的弹性势能为2.0J．
如图所示，AC、BC为位于竖直平面内的两根光滑细杆，A、B、C三点恰位于同一圆周上，C为该圆周的最低点，a、b为套在细杆上的两个小环，当两环同时从A、B点自静止开始下滑，则 （ ）
正确答案
小环在杆上做初速度为0的匀加速直线运动，如图，∠ACD=θ，小环在杆上下滑时的加速度a=gcosθ，令圆的半径为R，则根据几何关系有：
AC=2Rcosθ
小环在AC上下滑的加速度a=gcosθ，因为小环做初速度为0的匀加速直线运动，根据位移时间关系有：
AC=
即2Rcosθ=
解得：t=
故选：C．
如图所示，光滑斜面长为a、宽为b、倾角为θ．一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面，求：
①物体的加速度，
②物体运行的时间，
③入射初速度．
正确答案
（1）根据牛顿第二定律得，物体的加速度为：a=
（2）根据b=
（3）入射的初速度为：v0=
答：（1）物体的加速度为gsinθ；
（2）物体运行的时间为
（3）入射的速度为
电磁炮是利用磁场对电流的作用力，把电能转变成机械能，使炮弹发射出去的．如图所示，把两根长为s，互相平行的铜制轨道放在磁场中，轨道之间放有质量为m的炮弹，炮弹架在长为l、质量为M的金属杆上，当有大的电流I1通过轨道和炮弹时，炮弹与金属架在磁场力的作用下，获得v1速度时刻加速度为a，当有大的电流I2通过轨道和炮弹时，炮弹最终以最大速度v2脱离金属架并离开轨道，求垂直于轨道平面的磁感强度多大？（设金属架与炮弹在运动过程中所受的总阻力与速度平方成正比）．
正确答案
设运动中受总阻力Ff=kv2，炮弹与金属架在磁场和阻力合力作用下加速，
根据牛顿第二定律得：
获得v1速度时，BI1L-k
当炮弹速度最大时，有BI2L=k
解得垂直轨道的磁感强度为B=
答：垂直于轨道平面的磁感强度为：B=
竖直井是将地下数百米深处的煤炭或矿石等资源运送到地面的通道．当一次提升的质量一定，提升能力（单位时间的提升量）与所用时间成反比．提升电动机的额定功率又与最大提升速度成正比．一般牵引钢丝的安全系数限制提升的加速度不超过某一值，此值为a=
（方法一）先加速到最大值后再减速到达地面，到达地面时速度为0．
（方法二）先加速到一定的速度后在匀速一段时间，再减速到达地面，到达地面时速度为0．
为了便于研究将问题简化：假定加速、减速过程都看做匀变速，且加速度大小都为a=
问题1：在同一坐标系中画出两种方法对应的v-t图线，方法一用①表示，方法二用②表示．并根据图线判断采用哪种方法提升能力强．
问题2：为了确保安全，规定：在提升的过程中钢丝绳中出现的最大张力不应超过其能承受的最大张力的一半．设所使用的钢丝绳能承受的最大张力为T，求每次提升货物的最大质量．
问题3：假定用第二种方法提升时，匀速运动的速度为第一种方法时最大速度的一半．
（1）求两种方法提升一次所用时间的比t2/t1
（2）实践表明，提升过程中，相同时间内消耗的电能与电动机的额定功率成正比．既考虑提升能力又考虑能耗，提高经济效益，请你分析一下哪种方法比较好．
正确答案
问题1．图象如图所示．
由图知：t1＜t2
∴第一种方法提升能力强．
问题2：由牛顿第二定律得：
∴m=
问题3：（1）第一种方法：
由 v2=2ah得 ①
第二种方法：
将①带入②得：t2=
∴
（2）第二种方法与第一种方法提升能力之比：
第二种方法与第一种方法相同时间内的耗能比：
由以上分析知：相同时间内第二种方法的产量为第一种方法的80%，但耗能为50%
因此第二种方法较好．
答：
问题1，图象如图所示，第一种方法提升能力强．
问题2，每次提升货物的最大质量为
问题3，（1）两种方法提升一次所用时间的比
（2）第二种方法较好．
如图所示，在竖直向下的匀强电场中，一个质量为m带负电的小球从斜轨道上的A点由静止滑下，小球通过半径为R的圆轨道顶端的B点时恰好不落下来．已知轨道是光滑而又绝缘的，且小球的重力是它所受的电场力2倍．求：
（1）A点在斜轨道上的高度h为多少？
（2）小球运动到最低点时的对轨道压力为多少．
正确答案
由题意得：
mg=2Eq
设小球到B点的最小速度为VB，则由牛顿第二定律可得：
mg-Eq=m
对AC过程由动能定理可得：
mg（h-2R）-Eq（h-2R）=
联立解得：h=
（2）对AC过程由动能定理可得：
mgh-Eqh=
由牛顿第二定律可得：
F+Eq-mg=m
联立解得：
F=3mg；
由牛顿第三定律可得小球对轨道最低点的压力为3mg．
如图所示，一质量为2kg的小球从斜面顶点A由静止开始向下运动，经过斜面底端B点后在水平面上运动，最后停止在C点．已知斜面长为18m，斜面的倾角为37°，小球与斜面、水平面的动摩擦因数均为0.25，g=10m/s2，sin37°=0.6，不计小球从斜面进入水平面时机械能的损失．求：
（1）小球通过B点时的速度大小．
（2）小球在水平面上运动的位移大小．
正确答案
（1）由牛顿第二定律得：mgsin37°-µmg cos37°=ma1
a1=g（sin37°-µ cos37°）=4m/s2
由 v2-0=2ax1，得
v=
（2）设小球在水平面上运动的加速度大小为为a2，
则µmg=ma2 a2=μg=2.5 m/s2
又由 0-v2=-2ax2 代入数据解得：x2=28.8m
答：（1）小球通过B点时的速度大小为12m/s．
（2）小球在水平面上运动的位移大小28.8m．
近日中国气象局举行新闻发布会称：2013年以来，中国平均雾霾天数为52年来最多，由于雾霾天气能见度低，容易造成汽车追尾事故，假设一条高速公路上，前方车辆因故障突然停车，后车以某一速度匀速行驶，由于雾霾天气能见度低，当后车距离前方故障车115m时，司机才能看见，已知从发现故障车，经操纵刹车，到汽车开始减速所经历的时间（即反应时间）t=0.50s，刹车时汽车受到阻力的大小F为汽车重力的0.45倍，为保证安全，后车匀速行驶时的最高速度不得超过多少？
正确答案
在反应时间内，汽车做匀速运动，运动的距离s1=vt，
设刹车时汽车的加速度大小为a，汽车的质量为m，有：f=ma，
自刹车到停下，汽车运动的距离s2=
s=s1+s2，
代入数据联立解得v=30m/s．
答：为保证安全，后车匀速行驶时的最高速度不得超过30m/s．
如图所示，质量M=8kg的小车放在水平光滑的平面上，在小车左端加一水平恒力F，F=8N，当小车向右运动的速度达到1.5m/s时，在小车前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m=2kg的小物块，物块与小车间的动摩擦因数μ=0.2，小车足够长．求从小物块放上小车开始，经过t=1.5s小物块通过的位移大小为多少？（取g=10m/s2）．
正确答案
开始一段时间，物块相对小车滑动，两者间相互作用的滑动摩擦力的大小为Ff=μmg=4N．物块在Ff的作用下加速，加速度为am=
小车在推力F和f的作用下加速，加速度为aM=
初速度为υ0=1.5m/s，设经过时间t1，两者达到共同速度υ，则有：υ=amt1=υ0+aMt1
代入数据可得：t1=1s，υ=2m/s
在这t1时间内物块向前运动的位移为s1=
在F的作用下运动的加速度为a，则F=（M+m）a 得a=0.8m/s2．
在剩下的时间t2=t-t1=0.5s时间内，物块运动的位移为s2=υt2+
可见小物块在总共1.5s时间内通过的位移大小为s=s1+s2=2.1m．
答：经过t=1.5s小物块通过的位移大小为2.1m．
为了研究鱼所受水的阻力与其形状的关系，小明同学用石蜡做成两条质量均为m、形状不同的“A鱼”和“B鱼”，如图所示．在高出水面H处分别静止释放“A鱼”和“B鱼”，“A鱼”竖直下潜hA后速度减小为零，“B鱼”竖直下潜hB后速度减小为零．“鱼”在水中运动时，除受重力外，还受到浮力和水的阻力．已知“鱼”在水中所受浮力是其重力的
（1）“A鱼”入水瞬间的速度VA
（2）“A鱼”在水中运动时所受阻力fA
（3）“A鱼”和“B鱼”在水中运动时所受阻力之比fA：fB．
正确答案
（1）A鱼入水前做自由落体运动，根据速度位移公式，有：
解得：
vA1=
（2）A鱼入水后，受重力、浮力和阻力，根据动能定理，有：
mghA-fAhA-F浮hA=0-
其中：F浮=
解得：
fA=(
（3）同理
fB=(
解得
答：（1）“A鱼”入水瞬间的速度为
（2）“A鱼”在水中运动时所受阻力为(
（3）“A鱼”和“B鱼”在水中运动时所受阻力之比
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