- 与圆有关的比例线段
- 共748题
如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AB=10，O为BC上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与BC边、AB边分别交于点D、E，连接DE。
（1）若BD=6，求线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，交AC于点F，
证明：AF=EF。
正确答案
（Ⅰ）DE＝
本试题主要是考查了平面几何中圆的性质和三角形相似的综合运用。利用
（1）因为BD=6，利用相似比线段DE的长；
（2）过点E作半圆O的切线，交AC于点F，结合弦切线定理，表示出角的关系，以及三角形的形状，进而得证。
解：（Ⅰ）∵BD是直径，∴∠DEB＝90º，∴
在Rt△BDE中，DE＝
（Ⅱ）连结OE，
∵EF为切线，∴∠OEF＝90º，∴∠AEF＋∠OEB＝90º，又∵∠C＝90º，∴∠A＋∠B＝90º，又∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠B，∴∠AEF＝∠A，∴AF＝EF．
如图所示，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B,且PB=" 7," C是圆上一点使得BC = 5，
正确答案
试题分析：∵
如图所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，E为AB上的点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与CD有怎样的位置关系？
正确答案
见解析
解 过E作EF⊥CD于F，
∵DE平分∠ADC，
CE平分∠BCD，
∠A＝∠B＝90°，
∴AE＝EF＝BE＝
∴以AB为直径的圆的圆心为E，
∴EF是圆心E到CD的距离，且EF＝
∴以AB为直径的圆与边CD是相切关系．
如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为4 cm，则过AB、BC中点的弦EF的长是________ cm.
正确答案
4
利用圆内半径与弦的关系，并结合圆内接四边形的知识连接OB交EF于H，连接OE，则OH＝2 cm，则HE＝
如图所示，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求
正确答案
解 过点D作DG∥AB交EC于G，
则
即
所以AE＝DG，
从而有AF＝DF，
EF＝FG＝CG，
故
＝
如图所示，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为________．
正确答案
3∶10
由AE∶EC＝7∶3，有EC∶AC＝3∶10.
根据MN∥DE∥BC，可得DB∶AB＝EC∶AC，即得DB∶AB＝3∶10．
如图，已知
正确答案
2
试题分析：∵
点评：掌握切线的性质及切割线定理是解决此类问题的关键。
如如图：在
正确答案
略
如图，在△ABC中，点E是AB的中点，EF∥BD，EG∥AC交BD于点G，CD＝
正确答案
15 10
∵E为AB的中点，EF∥BD，∴F为AD的中点．∵E为AB的中点，EG∥AC，∴G为BD的中点，当EG＝5 cm时，则AD＝10 cm.又CD＝
（本小题满分10分）
如图，
（1）求
（2）求证：
正确答案
（1）
试题分析：（1）
又
（2）
点评：与圆有关的问题，若涉及线段长则往往要应用切线或割线定理，要能够利用圆周角或圆切角来证明三角形相似.
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