热门试卷

5

延长BA交切线CD于M.因为∠C＝90°，

所以AB为直径，所以半径为10.连结OC，则OC⊥CD，且OC∥BD.

因为∠OAC＝60°，所以∠AOC＝60°，∠OBE＝60°，

即BE＝OB＝10且∠M＝30°.

所以OM＝2OC＝20，所以AM＝10.

所以BD＝(AM＋AB)＝＝15，

即DE＝BD－BE＝15－10＝5.

见解析

证明　(1)连接IC，∵I为内心，

∴∠3＝∠4，∠1＝∠2.

∵∠1＝∠5，∴∠2＝∠5.

∴∠3＋∠2＝∠4＋∠5，

∴∠EIC＝∠ECI.∴IE＝CE.

(2)∵∠E＝∠E，∠2＝∠5，

∴△ECD∽△EAC，∴＝，

∴CE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·ED.

:(1)略 (2)=

试题分析：解：(1)∵ PA是切线，AB是弦，

∴∠BAP=∠C，  ………2分

又∵∠APD=∠CPE,

∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,

∵∠ADE=∠BAP+∠APD,

∠AED=∠C+∠CPE,                  ………4分

∴∠ADE=∠AED．                  ………5分

(2)由(1)知∠BAP=∠C, 又∵∠APC=∠BPA,

∴△APC∽△BPA, ∴,      ………7分

∵ AC="AP," ∴∠APC=∠C=∠BAP,

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°,

∵ BC是圆O的直径，∴∠BAC="90°," ∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,

∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°．………9分

在Rt△ABC中，=, ∴=．………10分

点评：此类题目常涉及的图形有圆、切线和三角形。在解决此类题目时，常要找出两个相似三角形。

解：="2   " ………………………2分

…………………………………6分

又  =2

 =…………………………………8分

又,且向量不共线 ……………12分

略

设正三角形ABC的边长为x，由正弦定理，得＝2，所以x＝.延长PN交圆于Q，则NA·NC＝NP·NQ.设NP＝t，则t·.所以t＝，即NP＝

（1）见解析（2）见解析

(1)连结BD，因为AB为圆O的直径，所以BD⊥AC.又∠B＝90°，所以CB切圆O于点B且ED切圆O于点D，因此EB＝ED，所以∠EBD＝∠EDB，∠CDE＋∠EDB＝90°＝∠EBD＋∠C，所以∠CDE＝∠C，得ED＝EC，因此EB＝EC，即E是BC的中点．

(2)连结BF，显然BF是Rt△ABE斜边上的高，可得△ABE∽△AFB，于是有，

即AB2＝AE·AF，同理可得AB2＝AD·AC，

所以AD·AC＝AE·AF.

2

∵∠BNA＝45°，∴∠BOA＝90°.∵OM＝2，BO＝2，∴BM＝4.∵BM·MN＝CM·MA＝(2＋2)(2－2)＝8，∴MN＝2.

证明：（Ⅰ）连接OD，可得

OD∥AE----------------------------------------3分

又

DE是⊙的切线.----------------- ------------5分

（Ⅱ）过D作于H，则有

.------------------6分

设，则

--------------------------8分

由∽可得

又∽，--------------10分

略