- 与圆有关的比例线段
- 共748题
如图，是圆
正确答案
试题分析：由切线长定理得
设
因此
如图，以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作平行四边形ACED，DC的延长线交BE于点F，求证：EF＝BF.
正确答案
见解析
证明 如图所示，连接AE交DC于O.
∵四边形ACED是平行四边形．
∴O是AE的中点．
∵在梯形ABCD中，
DC∥AB，在△EAB中，
OF∥AB，
又∵O是AE的中点，
∴F是EB的中点，
∴EF＝BF.
如图所示，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E为AB的中点．
求证：△ECD为等边三角形．
正确答案
见解析
证明 过E作EF∥BC交DC于F，连接AC，如图所示．
∵AD∥BC，E为AB中点，∴F是DC中点．①
又∵DC⊥BC，EF∥BC，∴EF⊥DC.②
∴由①②知，EF是DC的垂直平分线，
∴△ECD为等腰三角形．③
∵BC＝AB，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．
又∵E是AB中点，
∴CE是∠ACB的平分线，
∴∠BCE＝30°.∴∠ECD＝60°.④
由③④知，△ECD为等边三角形．
如图，在△
正确答案
试题分析：由于
选修4－1：几何证明选讲
如图，已知
正确答案
见解析。
本题考查与圆有关的比例线段的求法，解题时要认真审题，注意切割线定理的合理运用．
由切、割线定理，得BP2=BM•BA，CP2=CN•CA，由BP=CP，知BM•BA=2CN2，由CN=NA=2BM，BA=BM+AM，能够证明AM=7BM．
证法一：连结PM、PA、PN
∵BP是圆的切线，∴∠BPM＝∠BAP，∠CPN＝∠CAP
∴△BPM∽△BAP，△CPN∽△CAP
∴
即
∵
∵
∴
证法二：由切、割线定理，得
∵
∵
∴
．（几何证明选讲选做题）如图4，
正确答案
略
(几何证明选讲选做题)如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影
为D，CD=4，BD=8，则圆O的半径等于__
正确答案
5
略
如图，△ABC∽△AFE，EF＝8，且△ABC与△AFE的相似比是3∶2，则BC等于________．
正确答案
12
∵△ABC∽△AFE，∴
（几何证明选讲选做题）
如图，正
正确答案
略
如图⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于点N，过点N的切线交CA的延长线于P.
（1）求证：
（2）若⊙O的半径为
正确答案
（1）证明见解析；（2）2．
试题分析：
解题思路：（1）利用等腰三角形与切割线定理进行证明；（2）利用三角形的相似性进行求解.
规律总结：直线与圆的位置关系，是平面几何问题的常见题型，常考知识由：圆内接四边形、切割线定理、相似三角形、全等三角形等.
试题解析：（1）连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，
则∠OBN=∠ONB，∵∠PMN=∠OMB=900-∠OBN，∠PNM=900-∠ONB
∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN
由条件，根据切割线定理，有
所以
（2）OM=2，在Rt△BOM中，
延长BO交⊙O于点D，连接DN
由条件易知△BOM∽△BND，于是
即
所以MN=BN-BM=6-4=2.
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