- 与圆有关的比例线段
- 共748题
如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
正确答案
∵直线PB与圆相切于点B，且∠PBA＝∠DBA，
∴∠ACB＝∠ABP＝∠DBA，由此可得直线AB是△BCD外接圆的切线且B是切点，则由切割线定理得AB2＝AD·AC＝mn，即得AB＝
如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，CD＝6，则线段AC的长为________．
正确答案
由切割线定理，得CD2＝BD·AD.
因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)，
即BD2＋5BD－36＝0，
即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.
因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是
所以AC＝
如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为OA上一点，BM的延长线交圆O于N，过N点的切线交CA的延长线于P。
（1）求证： 
（2）若圆O的半径
正确答案
略
已知AB为圆O的直径，AB=4，C为半圆上一点，过点C作圆O的切线CD，过点A作AD
正确答案
2
试题分析：
连结
过点
（几何证明选讲选做题）如右图，四边形ABCD内接
于⊙
则
正确答案
略
（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，
（I）证明：
（II）若
正确答案
（I）证明：见解析；（Ⅱ）
相似三角形有三个判定定理：判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似； 判定定理2：三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3：两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．在证明三角形相似时，要根据已知条件选择适当的定理．
（1）要判断两个三角形相似，可以根据三角形相似判定定理进行证明，但注意观察已知条件中给出的是角的关系，故采用判定定理1更合适，故需要再找到一组对应角相等，由圆周角定理，易得满足条件的角．
（2）根据（1）的结论，我们可得三角形对应对成比例，由此我们可以将△ABC的面积S="12"
AD•AE转化为S=
证明：（Ⅰ）由已知条件，可得
因为
故△ABE∽△ADC. ……5分
（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以
又S=
则sin
（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形
正确答案
30
略
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14.（几何证明选讲选做题）
如图，已知
正确答案
略
如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上．延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.
正确答案
2
方法一：因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BC.又BC＝CD，
所以△ABD是等腰三角形，所以AD＝AB＝6，∠DAC＝∠BAC.因为CE切圆O于点C，所以∠ECA＝∠ABC.又因为∠BAC＋∠ABC＝90°，所以∠DAC＋∠ECA＝90°，故CE⊥AD.故CD2＝DE·DA＝2×6＝12，
所以BC＝CD＝2
方法二：如图，连接OC，因为BO＝OA，BC＝CD，所以OC∥AD.又因为CE切圆O于点C，所以OC⊥CE，所以AD⊥CE.因为AB为圆O的直径，所以AC⊥BD.又BC＝CD，所以△ABD是等腰三角形，故∠ADB＝∠ABD，所以△ABC∽△CDE，则
如图所示，E是⊙O内两弦AB和CD的交点，直线EF∥CB，交AD的延长线于F，FG切⊙O于G.求证：
(1)△DFE∽△EFA；
(2)EF＝FG.
正确答案
见解析
证明 (1)∵EF∥CB，
∴∠DEF＝∠DCB.
∵∠DCB和∠DAB都是
∴∠DAB＝∠DCB＝∠DEF.
∵∠DFE＝∠EFA，∴△DFE∽△EFA.
(2)由(1)知△DFE∽△EFA，
∴
∵FG是⊙O的切线，∴FG2＝FA·FD.
∴FG2＝EF2，即FG＝EF.
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