- 与圆有关的比例线段
- 共748题
如图是某高速公路一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝10m，净高CD＝7m，则此圆的半径OA＝________m.
正确答案
设⊙O的半径为R，则在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2，即R2＝(
如图，在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N.若AC＝
正确答案
见解析
在△ABC中，因为CM是∠ACB的角平分线，所以
又已知AC＝
所以BM·BA＝BN·BC，即
如图所示,AB是☉O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,F为BA延长线上一点,且BD·BE=BA·BF,求证:
(1)EF⊥FB;
(2)∠DFB+∠DBC=90°.
正确答案
见解析
证明:(1)连接AD.
在△ADB和△EFB中,
∵BD·BE=BA·BF,
∴
又∠DBA=∠FBE,
∴△ADB∽△EFB,
又∵AB为☉O直径,
∴∠EFB=∠ADB=90°,即EF⊥FB.
(2)由(1)知∠ADB=∠ADE=90°,∠EFB=90°,
∴E、F、A、D四点共圆,
∴∠DFB=∠AEB.
又AB是☉O的直径,则∠ACB=90°,
∴∠DFB+∠DBC=∠AEB+∠DBC=90°.
如图所示,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x2-14x+mn=0的两个根.
(1)证明:C,B,D,E四点共圆;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.
正确答案
(1)见解析 (2) 5
(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,
AD·AB=mn=AE·AC,
即
又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,
因此∠ADE=∠ACB,
∴∠ACB+∠EDB=180°,
∴C、B、D、E四点共圆.
(2)解:m=4,n=6时,方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12,故AD=2,AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.
因为C、B、D、E四点共圆,
∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.
由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,
从而HF=AG=5,DF=
故C、B、D、E四点所在圆的半径为5
如图,CD为△ABC外接圆的切线,AB的延长线交直线CD于点D,E、F分别为弦AB与弦AC上的点,且BC·AE=DC·AF,B、E、F、C四点共圆.
(1)证明:CA是△ABC外接圆的直径;
(2)若DB=BE=EA,求过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.
正确答案
(1)见解析 (2)
(1)证明:因为CD为△ABC外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知
因为B,E,F,C四点共圆,
所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.
所以∠CBA=90°,因此CA是△ABC外接圆的直径.
(2)解:连接CE,因为∠CBE=90°,
所以过B,E,F,C四点的圆的直径为CE.
由DB=BE,有CE=DC.
又BC2=DB·BA=2DB2,
所以CA2=4DB2+BC2=6DB2.
而CE2=DC2=DB·DA=3DB2,
故过B,E,F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为
如图,△
(Ⅰ)求证:△
(Ⅱ)若
正确答案
(Ⅰ)见解析 (Ⅱ) 
（Ⅰ）利用切线的性质得到角的关系，再利用相似三角形的判定定理证明即可；（Ⅱ）利用相似的性质和相交弦定理求所给长度
(Ⅰ)在
(Ⅱ)
又
设
又
（《几何证明选讲》选做题）.如图：直角三角形ABC中，∠B＝90 o，AB＝4，以BC为直径的圆交边AC于点D，AD＝2，则∠C的大小为 ▲
正确答案
(1)30o
解：连接BD,如图所示， 
如下图，在圆内接四边形
正确答案
略
如图，圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为圆O上一点，AE＝AC，求证：∠PDE＝∠POC.
正确答案
见解析
因为AE＝AC，AB为直径，故∠OAC＝∠OCA＝∠OAE.所以∠POC＝∠OAC＋∠OCA＝∠OAC＋∠OAE＝∠EAC.又∠EAC＝∠PDE，所以∠PDE＝∠POC.
如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F.求证：∠DEA＝∠DFA.
正确答案
见解析
连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A、D、E、F四点共圆．所以∠DEA＝∠DFA.
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