对数函数及其性质
共2328题

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题型：简答题

简答题

计算：-log3(log3)．

正确答案

-log3(log3)

=-log3(log33127)=-log3(log33)=-log33-3 =3．

题型：简答题

简答题

不用计算器计算下列各式的值：

（1）()-14+823+；

（2）log3+lg25+lg4-3log32．

正确答案

（1）()-14+823+=+(23)23+2=+22+2=+4+2=；

（2）log3+lg25+lg4-3log32=log3312-log33+2（lg5+lg2）-2=-1+2-2=-．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）满足f（logax）=，（其中a＞0且a≠1）

（1）求f（x）的解析式及其定义域；

（2）在函数y=f（x）的图象上是否存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行，如果存在，求出两点；如果不存在，说明理由．

正确答案

（1）设t=logax，则x=at，t∈R

∴f（t）==×=(at-a-t)(t∈R)

∴f(x)=(ax-a-x)(x∈R)，定义域为R

（2）不存在，理由如下：

设x1，x2∈R且x1＜x2

则f(x1)-f(x2)=(ax1-a-x1-ax2+a-x2)

=(ax1-ax2+)

∵ax1+x2+1＞0，ax1+x2＞0，而不论a＞1还是0＜a＜1ax1-ax2与a2-1同号

∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）

∴f（x）在R上是增函数．

故在函数y=f（x）的图象上不存在两个不同的点，使过两点的直线与x轴平行．

题型：简答题

简答题

已知函数f(x)满足f(x+)=log12(x2-)，g(x)=log12(x-1)-1．

（1）求函数f（x）的表达式；（2）若f（x）＞g（x），求x的取值范围．

正确答案

（1）令x+=m，则x=m-，

∴f(m)=log12[(m-)2-]．

∴f(m)=log12(m2-m-2)．

即f(x)=log12(x2-x-2)…(5分)

（2）∵f（x）＞g（x），

∴log12(x2-x-2)＞log122(x-1)．

∴…(9分)

∴

∴2＜x＜3…（12分）

题型：简答题

简答题

设a＞0且a≠1，f(x)=loga(x+)（x≥1）

（1）求函数f（x）的反函数f-1（x）及其定义域．（2）若f-1(n)＜(n∈N*)，求a的取值范围．

正确答案

解（Ⅰ）∵f(x)=loga(x+)（x≥1），∴ay=x+ (x≥1)，∴=ay-x，∴a2y-2ayx+1=0，（x≥1），∴x==，互换x，y得f-1(x)=．

当a＞1时，定义域为[0，+∞）

当0＜a＜1时，定义域为（-∞，0]

（Ⅱ）f-1(n)＜(n∈N*)

即＜

即（an-3n）[（3a）n-1]＜0

即

∴＜a＜3

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