- 对数函数及其性质
- 共2328题
（1）已知log0.72x＜log0.7（x-1），求x的取值范围．
（2）已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示log215．
正确答案
（1）∵log0.72x＜log0.7（x-1），
∴0＜x-1＜2x，
解得x＞1，
故实数x的取值范围是 （1，+∞）；
（2）因为lg2=a，lg3=b
所以log215=log230-log22=
已知a＞0，a≠1，试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范围．
正确答案
由对数函数的性质可知，
原方程的解x应满足
当（1），（2）同时成立时，（3）显然成立，
因此只需解
由（1）得2kx=a（1+k2）（4）
当k=0时，由a＞0知（4）无解，因而原方程无解．
当k≠0时，（4）的解是x=
把（5）代入（2），得
解得：-∞＜k＜-1或0＜k＜1．
综合得，当k在集合（-∞，-1）∪（0，1）内取值时，原方程有解．
已知二次函数y=f（x）（x∈R）的图象过点（0，-3），且f（x）＞0的解集（1，3）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数求函数y=f（log2x），x∈[2，16]的最值．
正确答案
解（Ⅰ）由题意可设二次函数f（x）=a（x-1）（x-3）（a＜0）---------------------------（2分）
当x=0时，y=-3，即有-3=a（-1）（-3），
解得a=-1，f（x）=-（x-1）（x-3）=-x2+4x-3，
∴f（x）的解析式为f（x）=-x2+4x-3．-----------（6分）
（Ⅱ）设t=log2x，∵x∈[2，16]，
∴t∈[1，4]，
y=f（log2x）=-lo
∴在t∈[1，2]上为增函数，
∴在t∈[2，4]上为减函数，-----------------------------------------------（8分）
∴t=2即x=4时，y最大=1---------------------------------------------（10分）
∴t=4即x=16时，y最小=-3-------------------------------------------（12分）
已知函数f（x）=loga（a-ax）且a＞1，
（1）求函数的定义域和值域；
（2）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（3）证明函数图象关于y=x对称．
正确答案
解析：（1）a-ax＞0
又∵a＞1，
∴x＜1
故其定义域为（-∞，1），值域为（-∞，1）
（2）设1＞x2＞x1
∵a＞1，∴ax2＞ax1，于是a-ax2＜a-ax1
则loga（a-ax2）＜loga（a-ax1）
即f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在定义域（-∞，1）上是减函数
（3）证明：令y=loga（a-ax）（x＜1），则a-ax=ay，x=loga（a-ay）
∴f-1（x）=loga（a-ax）（x＜1）
故f（x）的反函数是其自身，得函数f（x）=loga（a-ax）（x＜1=图象关于y=x对称．
已知函数f（x）=1-2-x（x∈R）．
（1）求y=f（x）的反函数y=f-1（x）；
（2）求不等式2log2（x+1）+f-1（x）≥0的解集．
正确答案
（1）由y=1-2-x得-x=log2（1-y），即：x=-log2（1-y），
又∵原函数的值域是{y|y＜1}，
∴函数y=1-2-x（x∈R）的反函数是y=-log2（1-x），（x＜-1）．
∴y=f-1（x）=-log2（1-x），（x＜-1）．…（6分）
（2）由2log2（x+1）-log2（1-x）≥0得（x+1）2≥1-x，（10分）
解得x≥0或x≤-3 …（12分）
又因为定义域为{x|-1＜x＜1}，所以不等式的解集是{x|0≤x＜1}（14分）
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