热门试卷

（1）

（1）证：，当n = 1时，等号成立
，当n = 2时，等号成立
∴S2≤Sn≤S1。                                                                         

（2）解：
∵，∴当n≤10时，|Tn + 1| > |Tn|，当n≥11时，|Tn + 1| < |Tn|
故|Tn| max = |T11|          
又T10 < 0，，T11 < 0，T9 > 0，T12 > 0，∴Tn的最大值是T9和T12中的较大者
∵，∴T12 > T9
因此当n = 12时，Tn最大。                                           

（3）证：∵，∴| an |随n增大而减小，an奇数项均正，偶数项均负
①当k是奇数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差
②当k是偶数时，设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为，则
，，
∴，因此成等差数列，
公差 
综上可知，中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，且  ∵，∴数列{dn}为等比数列。      

（1）由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*)                   ①

由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1                                 ②

① – ②得(n≥2)

∵an > 0 (n∈N*)

又(p – 1)S1 = p2 – a1，∴a1 = p

{an}是以p为首项，为公比的等比数列

an = p

bn = 2logpan = 2logpp2 – n

∴bn = 4 – 2n

（2）证明：由（1）知，bn = 4 – 2n，an = p2 – n

又由条件p =得an = 2n – 2

∴Tn =                   ①

                        ②

① – ②得

= 4 – 2 ×

= 4 – 2 ×

∴Tn =

Tn – Tn – 1 =

当n > 2时，Tn – Tn – 1< 0

所以，当n > 2时，0 < Tn≤T3 = 3

又T1 = T2 = 4，∴0 < Tn≤4。

（3）解：若要使an > 1恒成立，则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论

当p > 1时，2 – n > 0，n < 2

当0 < p < 1时，2 – n < 0，n > 2

∴当0 < p < 1时，存在M = 2

当n > M时，an > 1恒成立。

（1）由题意得，解得，            

（2）由（1）得，

     ①

 ②

①-②得

.

，       

设，则由

得随的增大而减小，随的增大而增大。

时，

又恒成立，             

解析：（1）设等差数列的首项，公差，

            3分

所以任何的等差数列不可能是“Z数列”                                  4分

或者根据等差数列的性质：                              3分

所以任何的等差数列不可能是“Z数列”                                  4分

（2）假设是等比数列，则

是“Z数列”，所以                           6分

，所以不可能是等比数列，                         7分

等比数列只要首项公比             11分

其他的也可以：                               11分

等比数列的首项，公比，通项公式

恒成立，

补充说明：分析：，

根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以

（3）因为

，，，……，

       12分

同理：

 13分

因为数列满足对任意的

所以                              14分

                                                   16分

解析：假设数列是“摆动数列”，

即存在常数，总有对任意成立，

不妨取时则，取时则，显然常数不存在，

所以数列不是“摆动数列”；……………………2分

而数列是“摆动数列”，。

由，于是对任意成立，

所以数列是“摆动数列”。…………………………4分

（2）证明：由数列为“摆动数列”，，

即存在常数，使对任意正整数，总有成立

即有成立

则，…………………………6分

所以…………………………7分

同理…………………………8分

所以…………………………9分

因此对任意的，都有成立。…………………………10分

（3）解：当时，

当时，

综上，…………………………12分

即存在，使对任意正整数，总有成立，

所以数列是“摆动数列”； …………………………14分

当为奇数时递减，所以，只要即可

当为偶数时递增，，只要即可……………………15分

综上，

所以数列是“摆动数列”，的取值范围是。…16分

（1） 证明：由an＋an＋1＝2n，得an＋1＝2n－an，

所以  

又因为，所以数列{an－×2n}是首项为，公比为－1的等比数列。

所以an－×2n＝×（－1）n－1，即an＝[2n－（－1）n]，所以bn＝2n－（－1）n，  （5分）

（2） 假设在数列{bn}中，存在连续三项bk－1，bk，bk＋1（k∈N*, k≥2）成等差数列，则bk－1＋bk＋1＝2bk，即[2k－1－（－1）k－1]＋[2k＋1－（－1）k＋1]＝2[2k－（－1）k]，即2k－1＝4（－1）k－1。

① 若k为偶数，则2k－1＞0,4（－1）k－1＝－4＜0，所以，不存在偶数k，使得bk－1，bk，bk＋1成等差数列，（7分）

② 若k为奇数，则当k≥3时，2k－1≥4，而4（－1）k－1＝4，所以，当且仅当k＝3时，bk－1，bk，bk＋1成等差数列。

综上所述，在数列{bn}中，有且仅有连续三项b2，b3，b4成等差数列，（9分）

（3） 要使b1，br，bs成等差数列，只需b1＋bs＝2br，

即3＋2s－（－1）s＝2[2r－（－1）r]，即2s－2r＋1＝（－1）s－2（－1）r－3，（﹡） （10分）

① 若s＝r＋1，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1＝0，

右端（－1）s－2（－1）r－3＝（－1）s＋2（－1）s－3＝3（－1）s－3，

要使（﹡）式成立，当且仅当s为偶数时，又s＞r＞1，且s，r为正整数，

所以当s为不小于4的正偶数，且s＝r＋1时，b1，br，bs成等差数列，（12分）

② 若s≥r＋2时，在（﹡）式中，左端2s－2r＋1≥2r＋2－2r＋1＝2r＋1，

由（2）可知，r≥3，所以r＋1≥4，所以左端2s－2r＋1≥16（当且仅当s为偶数、r为奇数时取“＝”）；右端（－1）s－2（－1）s－3≤0.所以当s≥r＋2时，b1，br，bs不成等差数列，

综上所述，存在不小于4的正偶数s，且s＝r＋1，使得b1，br，bs成等差数列。

（1）设的公差为

因为，                  ……………………2分

所以                                 ……………………4分

所以           所以            ……………………6分

（2）因为

当时，

所以，                             ……………………9分

又时，

所以                                    ……………………10分

所以   所以，即

所以或，所以，    ……………………13分

（1）∵点（n，Sn）（n∈N*）均在函数y=f（x）的图象上，

∴，

∴当n=1时，；

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=。

当n=1时，也适合上式，

因此。

（2）由（1）可得：=。

∴Tn=，

，

两式相减得=1+=3

∴。

（3）证明：由cn==+＞2=2，

∴c1+c2+…+cn＞2n。

又cn=+=2+﹣，

∴c1+c2+…+cn=2n+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=2n+﹣＜2n+。

∴2n＜c1+c2+…+cn＜2n+成立。